三個重要的同餘式——威爾遜定理，費馬小定理，尤拉定理（擴充套件）
威爾遜定理
(p−1)!≡p−1≡−1(modp)(pisaprime)
由於
簡單的證明
費馬小定理
假如
p 是質數，且gcd(a,p)=1 ，那麼a(p−1)≡1 （mod p）
簡單的證明
尤拉定理
直到今天我才認清這三個人
下面就是ta的故事了：
在計算乘法逆元的時候，我們經常使用的（也是最簡單的）就是費馬小定理：
假如
p 是質數，且gcd(a,p)=1 ，那麼a(p−1)≡1 （mod p）
實際上費馬小定理是尤拉定理的特殊情況+應用
若
n,a 為正整數，且n,a 互質，則aϕ(n)≡1 （mod p）
由此，我們在計算冪的時候（底數與模數互質）則有
簡單的證明
然而當底數與模數不互質的時候怎麼辦呢
我們需要尤拉定理的擴充套件包：
方便起見，我們可以合併一下：
注意：擴充套件尤拉定理隻影響取模方式，並不影響模數
簡單的證明
在
a 的0 次,1 次,...,b 次冪模m 的序列中，前r 個數(a0到ar−1) 互不相同，從第r 個數開始，每s 個數就迴圈一次
證明：由鴿巢定理易證
我們把r 稱為a 冪次模m 的迴圈起始點，s 稱為迴圈長度。（注意：r 可以為0）
用公式表述為：ar≡ar+s(modm) a 為素數的情況
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