KCF（核化相關濾波）跟蹤公式推導筆記（1）——線性情況下濾波器的解

線上性條件下，利用迴圈矩陣，最終的解為

\begin{matrix} (1) & \hat{w} = \frac{{\hat{x}}^{*} ⊙ \hat{y}}{{\hat{x}}^{*} ⊙ \hat{x} + λ} \end{matrix}

即為論文原文的（12）式，其中：
（1） $\hat{x}$ 即 $F (x)$ ，表示 $x$ 的離散傅立葉變換
（2）字母右上角的星號表示共軛矩陣
下面是該公式的推導過程。

首先在傅立葉域，嶺迴歸的解如下所示：

\begin{matrix} (2) & w = {(X^{H} X + λ I)}^{- 1} X^{H} y \end{matrix}

由於我們已經限定了前提條件： $X$ 是迴圈矩陣，而迴圈矩陣又擁有如下特性：

\begin{matrix} (3) & X = F d i a g (\hat{x}) F^{H} \end{matrix}

其中：
（1） $F $ 是離散傅立葉變換矩陣，它是一個常量；
（2） $x$

x

是生成向量，它用於表示人們感興趣的影象塊
（3）

X

是根據上述

x

生成的迴圈矩陣
（4）

X^{H}

表示

X

的共軛轉置矩陣，即對

X^{H}

先進行共軛再進行轉置
（5）

\hat{x}

即

F (x)

，表示

x

的離散傅立葉變換

由（3）式，我們有

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} (1) & X^{H} X & = {[F d i a g (\hat{x}) F^{H}]}^{H} F d i a g (\hat{x}) F^{H} \\ (2) & = F d i a g ({\hat{x}}^{*}) F^{H} F d i a g (\hat{x}) F^{H} \\ (3) & = F d i a g ({\hat{x}}^{*}) d i a g (\hat{x}) F^{H} \end{aligned} \end{matrix}