設給定的序列為num[n]

1.O(n^2)的求法

動態規劃的方法

狀態定義：設dp[i] 表示以num[i]結尾的最長單調遞增子序列的長度

狀態方程：dp[i] = max(dp[k] + 1 | num[k] < num[i], 0<=k<i)， dp[i]初值為1

求法如下：

void MaxSubsequence(int n)  //求最長遞增子序列
{
	int ma=0;
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		dp[i]=1;
		for(int j=0;j<i;j++)
			if(num[j]<num[i] && dp[i]<dp[j]+1)
				dp[i]=dp[j]+1;
		if(ma<dp[i]) ma=dp[i];
	}
	printf("%d\n",ma);
}
 

   空間換時間的方法  。

   ind[i] ：長度為i的單調遞增子序列的最後一個元素的值

   具體方法為：將num序列的每一個元素插入到ind陣列中，插入位置通過二分查詢獲得，故複雜度為O(nlogn)。

   ind的更新規則：插入資料比當前最後位置的資料大，直接將資料插入ind中；否則在ind中找到第一個比當前資料大         的位置（從左到右），替換當前位置的資料。 ind中的資料是有序的，所以可以用二分查詢。

   注意：ind陣列中所儲存的元素不一定就是符合條件的子序列，但所求的長度卻是最大長度

    eg：

    num[]={2,3,5,1}  按照上述方法插入到ind陣列中，結果為：1,3,5。

    最長單調遞增子序列長度為3，但1,3,5並不是符合要求的序列……

程式碼實現如下：

#include <iostream>   
#include <string>      
#include <algorithm>  
#include <string.h>   
                       
const int INF = 0xffffff;
const int NUM = 10;   
int ind[NUM];          
int num[NUM];          
                       
int binary_search(int* array, int l, int r, int val)
{                      
    int mid;           
    while(l <= r) {   
        mid = (l + r) / 2;  
        if(val > array[mid])
            l = mid + 1;
        else if(val < array[mid])
            r = mid - 1;
        else           
            return mid;
    }                  
    return l;          
}                      
                       
void LIS()             
{                      
    for(int i = 2; i < NUM; ++i)        
        ind[i] = INF; 
    ind[0] = -INF;     
    ind[1] = num[0];  
    int ind_len = 2;  
    int index;           
    for(int i = 1; i < NUM; ++i) {
        index = binary_search(ind, 0, ind_len, num[i]);
        ind[index] = num[i];
        if(index == ind_len)
            ind_len++;                                                                                                                                                                                       
    }                  
    std::cout << (ind[ind_len] == INF ? ind_len - 1 : ind_len) << std::endl;
}                      
int main()             
{                      
    for(int i = 0; i < NUM; ++i)
        std::cin >> num[i];
    LIS();             
    return 0;          
}