SPOJ GSS1

題意：給一個序列以及一些詢問，每個是問\([l,r]\)中最大連續子序列和是多少。

思路：這個問題是以下問題的基礎。

我們考慮用線段樹來解決這個問題。

首先我們來想想如果要求出最大連續子序列和需要什麽信息。

對於\([l,m)\)和\([m,r)\)這兩個區間，我們需要將它們合並成\([l,r)\)這個區間。

那麽我們考慮分治地來解決這個問題。把問題分成三部分：

• \([l,m)\)中的最大子序列和
• \([m,r)\)中的最大子序列和
• 左端點在\([l,m)\)內，右端點在\([m,r)\)內的最大子序列和。

其中前兩個部分可以遞歸處理，而第\(3\)個部分則需要記錄\([l,m)\)

將值上推的時候這樣做：

• 首先將\([l,r)\)的和設為\([l,m)\)的和加上\([m,r)\)的和。
• 然後考慮最大前綴和（最大後綴和與之對稱，略）：這個最大前綴和的結尾可能有兩種情況：
  • 在\([l,m)\)中，即\([l,m)\)的最大前綴和
  • 在\([m,r)\)中，即\([l,m)\)的和加上\([m,r)\)的最大前綴和
• 然後最大子序列和就是\([l,m)\)的最大後綴和加上\([m,r)\)的最大前綴和。

然後就好辣。

SPOJ GSS3

題意：給一個序列以及一些詢問，每個是\(1)\)將\(x\)這一位上的數改成\(v\)；\(2)\)問\([l,r]\)中最大連續子序列和是多少。

思路：這題比GSS1只是多了修改操作，而這只是單點修改，所以直接加上正常線段樹的\(update\)操作即可。

SPOJ GSS5

題意：給一個序列以及一些詢問，每個是問\(max\ \sum_{k=i}^ja_k(x_1\leq i\leq y_1,x_2\leq j\leq y_2,x_1\leq x_2,y_1\leq y_2)\)。

思路：我們將\(y_1\)和\(x_2\)的大小情況分兩類考慮：

• \(y_1<x_2\)時，這兩個區間沒有任何交叉，所以答案肯定是\([x_1,y_1]\)
  的最大後綴和加上\([y_1+1,x_2-1]\)的和加上\([x_2,y_2]\)的最大前綴和。
• \(y_1\geq x_2\)時，這兩個區間的交叉是\([x_2,y_1]\)這段，那麽我們要分幾種情況考慮：
  • \(i\)在\([x_1,x_2-1]\)裏，\(j\)在\([x_2,y_1]\)裏：\([x_1,x_2-1]\)的最大後綴和加上\([x_2,y_1]\)的最大前綴和。
  • \(i\)在\([x_1,x_2-1]\)裏，\(j\)在\([y_1+1,y_2]\)裏：\([x_1,x_2-1]\)的最大後綴和加上\([x_2,y_1]\)的和加上\([y_1+1,y_2]\)的最大前綴和。
  • \(i\)在\([x_2,y_1]\)裏，\(j\)在\([i,y_1]\)裏：\([x_2,y_1]\)的最大連續子序列和。
  • \(i\)在\([x_2,y_1]\)裏，\(j\)在\([y_1+1,y_2]\)裏：\([x_2,y_1]\)的最大後綴和加上\([y_1+1,y_2]\)的最大前綴和。
• 然後取\(max\)就好辣。

SPOJ GSS7

題意：給一棵樹以及一些詢問，每個是\(1)\)將\(a\rightarrow b\)的路徑上每一個點都賦成\(c\)；\(2)\)問\(a\rightarrow b\)的路徑上每一個點組成的序列的最大連續子序列和。

思路：樹鏈剖分都出來了。。。

先看第一個詢問。

這個詢問還是比較普通的。。。

套個樹鏈剖分的模板做一下就行了，不過線段樹中還要加上區間修改的操作。其實也蠻簡單的：）

然後我們考慮第二個詢問。

首先這個不可以套模板了。。。

最大連續子序列和不是個可以分段搞的東西。。。

然後放棄想了想發現我們可以\(O(log^2)\)地做！！！

首先我們按照正常步驟來把這條路徑上所有的重鏈作為一個個區間，記為\(A_{1..m}\)。

然後我們根據（da）樹鏈剖分（le）復雜度（ge）的證明（biao）發現\(m\)不會超過\(O(log\ n)\)。

所以開心地暴力。。。

枚舉區間開頭\(l\)，區間結尾\(r\)，那麽就是\(\sum_{i=l+1}^{r-1}A_i\)的和加上\(A_l\)的最大後綴和加上\(A_r\)的最大前綴和。

還有一種情況就是答案就在\(A_i\)中，即\(A_i\)的最大連續子序列和。

搞死我了。。。寫了\(5K\)。。。

【SPOJ GSS】數據結構套題