一、向量化：低秩矩陣分解　　

　　之前我們介紹了協同過濾算法，本節介紹該算法的向量化實現，以及說說有關該算法可以做的其他事情。

　　舉例：
1.當給出一件產品時，你能否找到與之相關的其它產品。
2.一位用戶最近看上一件產品，有沒有其它相關的產品，你可以推薦給他。

我們將要做的是：實現一種選擇的方法，寫出協同過濾算法的預測情況。

　　我們有關於五部電影的數據集，我將要做的是，將這些用戶的電影評分，進行分組並存
到一個矩陣中。
　　我們有五部電影，以及四位用戶，那麽 這個矩陣 ?? 就是一個5 行4 列的矩陣，它將
這些電影的用戶評分數據都存在矩陣裏：

我們記：

推出評分：

上述就是協同矩陣的向量化。

首先對於每一個產品i，我們找出其特征向量

找出使兩個商品特征比較相同的產品，即可以找出使得最小的五個商品，則這5個商品就是和i最相似的5個商品，既可以作為相關產品推薦。

二：均值歸一化

　　假設有下面一組數據：

即有一個用戶Eve沒有對任何電影進行評價，這時候如果我們使用之前的方法測Eve對每部電影的評分，則最小化圖上的公式，因為對於任意i，Eve都沒有評分過，因此①式r(i, j)=1條件不滿足，因此①對於最小化Eve的數據沒有作用，②也沒有作用，因此對於最小化Eve數據有作用的便是③式，即

雖然結果是得出來了，但是這個結果我們沒辦法用來推薦，因為對所有的電影，其都為0。

因此，我們引入歸一化：

即對於某一部電影，利用已經評過分的值（？不計算在內），計算出平均分，記為μ，於是歸一化矩陣為原來的Y的每一個數減去這一行（這一部電影）對應的平均值，得到新的Y，如上圖右側所示，利用這個新的Y矩陣學習θ和x的值。則對於Eve，之前關於最小化的分析仍成立，即。

歸一化之後的預測值公式為：

因此對於Eve的預測值為：

其實對於這個預測結果我們是可以接受的，因為我們不知道Eve的喜好，因此把她的評分預測為平均水平。

特殊情況：若出現有一部電影無評分的情況，則可以考慮使每列的均值為0，即計算每列的均值，用Y減去對應列的均值得到新的Y矩陣。

吳恩達機器學習筆記59-向量化：低秩矩陣分解與均值歸一化（Vectorization: Low Rank Matrix Factorization & Mean Normalization）