Luogu3214 [HNOI2011]卡農

題面：Luogu

解析

題意即為選出\(m\)個不同的數，使其異或和為0，發現其實就是先選前\(m-1\)個數，然後最後一個數應該等於前面所有數的異或和，這樣計算兩種不合法的情況：1.最後一個數為0。2.最後一個數與前面的數重復。先看1，發現是選\(m-1\)個數異或和為0，再看2，考慮刪去重復的2個數，重復的數的位置有\(m-1\)中，取值有\(S-(i-2)\)中（因為不能與其他的數重復），那麽剩下的\(m-2\)個數異或和應為0。那麽設\(f(i)\)表示選\(i\)個數異或和為0的方案數，有：

\[f(i)=C[S][i-1]-f[i-1]-(S-i+2)(i-1)f[i-2]\]

最後註意需要消除順序的影響。

代碼

// luogu-judger-enable-o2
#include<cstdio>
#define N 1000005
using namespace std;
const int P=100000007;
inline int In(){
    char c=getchar(); int x=0,ft=1;
    for(;c<'0'||c>'9';c=getchar()) if(c=='-') ft=-1;
    for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar()) x=x*10+c-'0';
    return x*ft;
}
int n,m,pow_2,_inv,A[N],f[N];
inline int power(int x,int k){
    int s=1,t=x;
    for(;k;k>>=1,t=1ll*t*t%P) if(k&1) s=1ll*s*t%P;
    return s;
}
int main(){
    n=In(); m=In(); pow_2=(power(2,n)-1+P)%P;
    _inv=1; for(int i=1;i<=m;++i) _inv=1ll*i*_inv%P; _inv=power(_inv,P-2);
    A[1]=pow_2; for(int i=1;i<m;++i) A[i+1]=1ll*(pow_2-i+P)%P*A[i]%P;
    f[0]=1; for(int i=2;i<=m;++i) f[i]=((A[i-1]-f[i-1]+P)%P-1ll*(pow_2-i+2+P)%P*(i-1)%P*f[i-2]%P+P)%P;
    printf("%lld\n",1ll*f[m]*_inv%P);
    return 0;
}

 

Luogu3214 [HNOI2011]卡農