[LOJ 2146][BZOJ 4873][Shoi2017]壽司餐廳
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題意
比較復雜放LOJ題面好了qaq...
Kiana 最近喜歡到一家非常美味的壽司餐廳用餐。
每天晚上，這家餐廳都會按順序提供 \(n\) 種壽司，第 \(i\) 種壽司有一個代號 \(a_i\) 和美味度 \(d_{i, i}\)，不同種類的壽司有可能使用相同的代號。每種壽司的份數都是無限的，Kiana 也可以無限次取壽司來吃，但每種壽司每次只能取一份，且每次取走的壽司必須是按餐廳提供壽司的順序連續的一段，即 Kiana 可以一次取走第 \(1, 2\) 種壽司各一份，也可以一次取走第 \(2, 3\) 種壽司各一份，但不可以一次取走第 \(1, 3\)
種壽司。由於餐廳提供的壽司種類繁多，而不同種類的壽司之間相互會有影響：三文魚壽司和魷魚壽司一起吃或許會很棒，但和水果壽司一起吃就可能會肚子痛。因此，Kiana 定義了一個綜合美味度 \(d_{i, j} \ (i < j)\)，表示在一次取的壽司中，如果包含了餐廳提供的從第 \(i\) 份到第 \(j\) 份的所有壽司，吃掉這次取的所有壽司後將獲得的額外美味度。由於取壽司需要花費一些時間，所以我們認為分兩次取來的壽司之間相互不會影響。註意在吃一次取的壽司時，不止一個綜合美味度會被累加，比如若 Kiana 一次取走了第 \(1, 2, 3\) 種壽司各一份，除了 \(d_{1, 3}\)
以外，\(d_{1, 2}, d_{2, 3}\) 也會被累加進總美味度中。神奇的是，Kiana 的美食評判標準是有記憶性的，無論是單種壽司的美味度，還是多種壽司組合起來的綜合美味度，在計入 Kiana 的總美味度時都只會被累加一次。比如，若 Kiana 某一次取走了第 \(1, 2\) 種壽司各一份，另一次取走了第 \(2, 3\) 種壽司各一份，那麽這兩次取壽司的總美味度為 \(d_{1, 1} + d_{2, 2} + d_{3, 3} + d_{1, 2} + d_{2, 3}\)，其中 \(d_{2, 2}\) 只會計算一次。
奇怪的是，這家壽司餐廳的收費標準很不同尋常。具體來說，如果 Kiana 一共吃過了 \(c \ (c > 0)\)
種代號為 \(x\) 的壽司，則她需要為這些壽司付出 \(mx^2 + cx\) 元錢，其中 \(m\) 是餐廳給出的一個常數。現在 Kiana 想知道，在這家餐廳吃壽司，自己能獲得的總美味度（包括所有吃掉的單種壽司的美味度和所有被累加的綜合美味度）減去花費的總錢數的最大值是多少。由於她不會算，所以希望由你告訴她。
\(n\le 100,a_i\le 1000,m\in\{0,1\}\)
題解
好像是個...裸的最大權閉合子圖...最大權閉合子圖都不知道果然是學了假的網絡流
顯然選了一個區間後所有子區間也要選, 選了一個 \(d_{i,i}\) 後就要選花費點. 花費點可以拆成兩部分, 一部分是 \(cx\) 直接從 \(d_{i,i}\) 裏減去就可以了, 另一部分是 \(mx^2\) 需要對於每一個壽司代號都新建一個點來表達.
然後它們之間的制約關系表達成有向邊, 求最大權閉合子圖就可以了.
果然我還是太菜了...
參考代碼
#include <bits/stdc++.h>
const int MAXN=1e2+10;
const int MAXV=1e4+10;
const int MAXE=1e6+10;
const int INF=0x7FFFFFFF;
struct Edge{
int from;
int to;
int flow;
Edge* rev;
Edge* next;
};
Edge E[MAXE];
Edge* head[MAXV];
Edge* cur[MAXV];
Edge* top=E;
int n;
int m;
int a[MAXN];
bool vis[1010];
int depth[MAXV];
int id[MAXN][MAXN];
int val[MAXN][MAXN];
bool BFS(int,int);
int Dinic(int,int);
int DFS(int,int,int);
void Insert(int,int,int);
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",a+i);
int s=0,t=1;
int cnt=1,sum=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=i;j<=n;j++){
scanf("%d",val[i]+j);
id[i][j]=++cnt;
if(i==j)
val[i][j]-=a[i];
if(val[i][j]>=0){
sum+=val[i][j];
Insert(s,id[i][j],val[i][j]);
}
else
Insert(id[i][j],t,-val[i][j]);
}
}
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=i+1;j<=n;j++){
Insert(id[i][j],id[i+1][j],INF);
Insert(id[i][j],id[i][j-1],INF);
}
}
for(int i=1;i<=n;i++)
Insert(id[i][i],cnt+a[i],INF);
for(int i=1;i<=n;i++){
if(!vis[a[i]]){
vis[a[i]]=true;
Insert(cnt+a[i],t,m*a[i]*a[i]);
}
}
printf("%d\n",sum-Dinic(s,t));
return 0;
}
int Dinic(int s,int t){
int ans=0;
while(BFS(s,t))
ans+=DFS(s,INF,t);
return ans;
}
bool BFS(int s,int t){
memset(depth,0,sizeof(depth));
std::queue<int> q;
q.push(s);
depth[s]=1;
cur[s]=head[s];
while(!q.empty()){
s=q.front();
q.pop();
for(Edge* i=head[s];i!=NULL;i=i->next){
if(i->flow>0&&depth[i->to]==0){
depth[i->to]=depth[s]+1;
cur[i->to]=head[i->to];
if(i->to==t)
return true;
q.push(i->to);
}
}
}
return false;
}
int DFS(int s,int flow,int t){
if(s==t||flow<=0)
return flow;
int rest=flow;
for(Edge*& i=cur[s];i!=NULL;i=i->next){
if(i->flow>0&&depth[i->to]==depth[s]+1){
int tmp=DFS(i->to,std::min(rest,i->flow),t);
if(tmp<=0)
depth[i->to]=0;
rest-=tmp;
i->flow-=tmp;
i->rev->flow+=tmp;
if(rest<=0)
break;
}
}
return flow-rest;
}
inline void Insert(int from,int to,int flow){
top->from=from;
top->to=to;
top->flow=flow;
top->rev=top+1;
top->next=head[from];
head[from]=top++;
top->from=to;
top->to=from;
top->flow=0;
top->rev=top-1;
top->next=head[to];
head[to]=top++;
}
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