1. 已知點 \(A(x_1, y_1)\), 現有一條直線 \(l\): \(ax+by+c=0\), 直線 \(l\) 到\(A\) 的舉例為 \(d\), 點 \(A\) 到直線 \(l\) 的垂足點記為 \(B\), 求 \(B\) 的坐標.

• 解答

  已知直線的表達式, 可知直線上的一個垂線量為: \((a,b)\), 記 \(B\) 的坐標表示為 \((x_2,y_2)\), 那麽向量 \(\overrightarrow{BA} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)\), \(d(A,B)=d\), 所以, \(\frac{(a,b) \cdot d}{\left\|(a,b)\right\|_2} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)\)

  , 所以 \(B\) 表示為:
  \[ (x_2,y_2)=(x_1,y_2) - \frac{(a,b) \cdot d}{\left\|(a,b)\right\|_2}, \]
  推向多項式表示, 超平面表示為 \(\omega x + b = 0\), 點 \(A\) 坐標表示為 \(x_0\), \(A\) 到 \(B\) 的距離表示為 \(\gamma\), 那麽 \(B\) 表示為:
  \[ x_1 = x_0 - \gamma \cdot \frac{\omega}{\left\| \omega \right\|_2} \]

已知點和線, 求垂足