題目地址：P5303 [GXOI/GZOI2019]逼死強迫癥

這裏是官方題解

初步分析

從題目和數據範圍很容易看出來這是一個遞推 + 矩陣快速冪，那麽主要問題在於遞推的過程。

滿足條件的答案一定是以下的形式，設 \(k = n - 1\) ，左右兩邊為整齊的道路，中間為長度 \(p(p \geq 3)\) 的組合塊：

由 \(p\) 的奇偶性，可以得到兩種不同的基本圖形，即 \(1 \times 1\) 的小塊在同一行（ \(p\) 是偶數）和各占一行（ \(p\) 是奇數）。

數學方法

左右均為普通的鋪地板問題，可以用斐波那契數列表示，通過上下翻轉可以得到兩種不同的中間塊方案，於是答案可以表示為：

\[F_k = 2 \sum_{p=3}^{n}\ \sum_{m=p}^{n}\ f_{k-m}\ f_{m-p+1}\]

轉化為母函數可得：

\[\sum_{k=0}^{\infty}\ x^n\ F_k = \frac{2x^3}{(1-x)(1-x-x^2)^2}\]

DP方法

思考如何構造方案，在 \(p = 3\) 時，有兩個無法分割的排列 ：、，其余方案可以通過在中心塊一
側加入一個豎向的 \(1 \times 2\) 地磚或者兩個橫向的 \(1 \times 2\) 地磚組成的方形獲得。答案就是上述方案的所有排列數之和。

問題轉化

為了更好的求解問題，將所有?案放在?棵樹上，稱之為“?案樹”，? T 表?。具體??，在樹上 level q

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