[背景]

我們知道根據隨時取模原理（a*b）mod p=（ a mod p*b mod p）mod p。那麽對於除法有沒有（a/b）mod p=（ a mod p/b mod p）mod p這個性質呢？很顯然是沒有的。這個時候，我們就有必要引入逆元這個概念。

[概念]

我們想，如果可以把（a/b）mod p轉化為（a*k）mod p就可以運用隨時取模。那麽這個k就是b在模p意義下的逆元（b，p字母含義在本篇文章通篇適用），簡寫為inv（b）。

[求逆元]

那麽對於一個數b，它的逆元時多少呢？我們可以類比倒數來解決這一問題。倒數的定義是這樣的：一個數除以另一個數，就相當於乘這個這個數的倒數。如5/6=5*（1/6）,（1/6）就是6的倒數。對於一個數有

a*（a的倒數）=1

類比一下

b*inv（b）≡1（mod p）

此時我們如果想要知道k的值，我們需要再引入費馬小定理：如果p是一個質數，而整數a不是p的倍數，則有

a^（p-1）≡1（mod p）

那麽有

b*b^（p-2）≡1 （mod p）

那麽

inv（b）≡b^（p-2）（mod p）

有了這個等式，我們可以輕松用快速冪求得inv（b），但是我們還可以用擴展歐幾裏得來求逆元。但是由費馬小定理的前提可得b和p互質。也就說明如果b和p不互質，則b沒有在模p意義下的逆元，這在用擴展歐幾裏得中也是一個非常重要的前提。

2019-05-02 19:12:48

進階數論（1）逆元