說明

前面已經介紹完了01背包和完全背包，今天介紹最後一種背包問題——多重背包。

這個背包，聽起來就很麻煩的樣子。別慌，只要你理解了前面的兩種背包問題，拿下多重背包簡直小菜一碟。

如果沒有看過前兩篇01背包和完全背包的文章，強烈建議先閱讀一下，因為本文跟前兩篇文章關聯性很強。

多重背包

有N種物品和一個容量為T的背包，第i種物品最多有M[i]件可用，價值為P[i]，體積為V[i]，求解：選哪些物品放入背包，可以使得這些物品的價值最大，並且體積總和不超過背包容量。

對比一下完全背包，其實只是多了一個限制條件，完全背包問題中，物品可以選擇任意多件，只要你裝得下，裝多少件都行。

但多重背包就不一樣了，每種物品都有指定的數量限制，所以不是你想裝，就能一直裝的。

舉個栗子：有A、B、C三種物品，相應的數量、價格和占用空間如下圖：

跟完全背包一樣，貪心算法在這裏也不適用，我就不重復說明了，大家可以回到上一篇中看看說明。

遞歸法

還是用之前的套路，我們先來用遞歸把這個問題解決一次。

用ks(i,t)表示前i種物品放入一個容量為t的背包獲得的最大價值，那麽對於第i種物品，我們有k種選擇，0 <= k <= M[i] && 0 <= k * V[i] <= t，即可以選擇0、1、2...M[i]個第i種物品，所以遞推表達式為：

ks(i,t) = max{ks(i-1, t - V[i] * k) + P[i] * k}; （0 <= k <= M[i] && 0 <= k * V[i] <= t）
 

同時，ks(0,t)=0;ks(i,0)=0;

對比一下完全背包的遞推關系式：

ks(i,t) = max{ks(i-1, t - V[i] * k) + P[i] * k}; （0 <= k * V[i] <= t）

簡直一毛一樣，只是k多了一個限制條件而已。

使用上面的栗子，我們可以先寫出遞歸解法：

public static class MultiKnapsack {
    private static int[] P={0,2,3,4};
    private static int[] V={0,3,4,5};
    private static int[] M={0,4,3,2};
    private static int T = 15;

    @Test
    public void soleve1() {
        int result = ks(P.length - 1,T);
        System.out.println("最大價值為：" + result);
    }

    private int ks(int i, int t){
        int result = 0;
        if (i == 0 || t == 0){
            // 初始條件
            result = 0;
        } else if(V[i] > t){
            // 裝不下該珠寶
            result = ks(i-1, t);
        } else {
            // 可以裝下
            // 取k個物品i，取其中使得總價值最大的k
            for (int k = 0; k <= M[i] && k * V[i] <= t; k++){
                int tmp2 = ks(i-1, t - V[i] * k) + P[i] * k;
                if (tmp2 > result){
                    result = tmp2;
                }
            }
        }
        return result;
    }
}
 

同樣，這裏的數組P/V/M分別添加了一個元素0，是為了減少越界判斷而做的簡單處理，運行如下：

最大價值為：11

對比一下完全背包中的遞歸解法：

private int ks(int i, int t){
    int result = 0;
    if (i == 0 || t == 0){
        // 初始條件
        result = 0;
    } else if(V[i] > t){
        // 裝不下該珠寶
        result = ks(i-1, t);
    } else {
        // 可以裝下
        // 取k個物品i，取其中使得總價值最大的k
        for (int k = 0; k * V[i] <= t; k++){
            int tmp2 = ks(i-1, t - V[i] * k) + P[i] * k;
            if (tmp2 > result){
                result = tmp2;
            }
        }
    }
    return result;
}

僅僅多了一個判斷條件而已，所以只要弄懂了完全背包，多重背包就不值一提了。

最優化原理和無後效性的證明跟多重背包基本一致，所以就不重復證明了。

動態規劃

參考完全背包的動態規劃解法，就很容易寫出多重背包的動態規劃解法。

自上而下記憶法

ks(i,t) = max{ks(i-1, t - V[i] * k) + P[i] * k}; （0 <= k <= M[i] && 0 <= k * V[i] <= t）

public static class MultiKnapsack {
    private static int[] P={0,2,3,4};
    private static int[] V={0,3,4,5};
    private static int[] M={0,4,3,2};
    private static int T = 15;

    private Integer[][] results = new Integer[P.length + 1][T + 1];

    @Test
    public void solve2() {
        int result = ks2(P.length - 1,T);
        System.out.println("最大價值為：" + result);
    }

    private int ks2(int i, int t){
        // 如果該結果已經被計算，那麽直接返回
        if (results[i][t] != null) return results[i][t];
        int result = 0;
        if (i == 0 || t == 0){
            // 初始條件
            result = 0;
        } else if(V[i] > t){
            // 裝不下該珠寶
            result = ks2(i-1, t);
        } else {
            // 可以裝下
            // 取k個物品，取其中使得價值最大的
            for (int k = 0; k <= M[i] && k * V[i] <= t; k++){
                int tmp2 = ks2(i-1, t - V[i] * k) + P[i] * k;
                if (tmp2 > result){
                    result = tmp2;
                }
            }
        }
        results[i][t] = result;
        return result;
    }
}

這裏其實只是照葫蘆畫瓢。

自下而上填表法

同樣也可以使用填表法來解決，此時需要將數組P、V、M額外添加的元素0去掉。

除了k的限制不一樣之外，其他地方跟完全背包的解法完全一致：

public static class MultiKnapsack {
    private static int[] P={2,3,4};
    private static int[] V={3,4,5};
    private static int[] M={4,3,2};
    private static int T = 15;

    private int[][] dp = new int[P.length + 1][T + 1];

    @Test
    public void solve3() {
        for (int i = 0; i < P.length; i++){
            for (int j = 0; j <= T; j++){
                for (int k = 0; k <= M[i] && k * V[i] <= j; k++){
                    dp[i+1][j] = Math.max(dp[i+1][j], dp[i][j-k * V[i]] + k * P[i]);
                }
            }
        }
        System.out.println("最大價值為：" + dp[P.length][T]);
    }
}

跟01背包問題一樣，完全背包的空間復雜度也可以進行優化，具體思路這裏就不重復介紹了，可以翻看前面的01背包問題優化篇。

優化後的狀態轉移方程為：

ks(t) = max{ks(t), ks(t - Vi) + Pi}

public static class MultiKnapsack {
    private static int[] P={2,3,4};
    private static int[] V={3,4,5};
    private static int[] M={4,3,2};
    private static int T = 15;

    private int[] newResults = new int[T + 1];

    @Test
    public void resolve4() {
        int result = ksp(P.length,T);
        System.out.println(result);
    }

    private int ksp(int i, int t){
        // 開始填表
        for (int m = 0; m < i; m++){
            for (int n = V[m]; n <= t ; n++){
                if (n >= V[m] * (M[m] + 1)){
                    newResults[n] = newResults[n - 1];
                }else {
                    newResults[n] = Math.max(newResults[n] , newResults[n - V[m]] + P[m]);
                }
            }
            // 可以在這裏輸出中間結果
            System.out.println(JSON.toJSONString(newResults));
        }
        return newResults[newResults.length - 1];
    }
}

輸出如下：

[0,0,0,2,2,2,4,4,4,6,6,6,8,8,8,8]
[0,0,0,2,3,3,4,5,6,6,7,8,9,9,10,11]
[0,0,0,2,3,4,4,5,6,7,8,8,9,10,11,11]
11

這裏的優化多了一個限制條件，跟完全背包相比，唯一的區別在這裏：

if (n >= V[m] * (M[m] + 1)){
    newResults[n] = newResults[n - 1];
}else {
    newResults[n] = Math.max(newResults[n] , newResults[n - V[m]] + P[m]);
}

代碼很簡單，但要理解卻並不容易，為了加深理解，再畫一張圖：

多重背包問題同樣也可以轉化成01背包問題來求解，因為第i件物品最多選 M[i] 件，於是可以把第i種物品轉化為M[i]件體積和價值相同的物品，然後再來求解這個01背包問題。

總結

多重背包問題跟完全背包簡直如出一轍，僅僅是比完全背包多一個限制條件而已，如果你回過頭去看看前一篇文章，就會發現這篇文章簡直就是抄襲。。

關於多重背包問題的解析到此就結束了，三個經典的背包問題到這裏就告一段落了。

如果有疑問或者有什麽想法，也歡迎關註我的公眾號進行留言交流：

【動態規劃】多重背包問題