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點覆蓋、最小點覆蓋

點覆蓋集即一個點集，使得所有邊至少有一個端點在集合裏。或者說是“點” 覆蓋了所有“邊”。。極小點覆蓋(minimal vertex covering)：本身為點覆蓋，其真子集都不是。最小點覆蓋(minimum vertex covering)：點最少的點覆蓋。點覆蓋數(vertex covering number)：最小點覆蓋的點數。

邊覆蓋、極小邊覆蓋

邊覆蓋集即一個邊集，使得所有點都與集合裏的邊鄰接。或者說是“邊” 覆蓋了所有“點”。極小邊覆蓋(minimal edge covering)：本身是邊覆蓋，其真子集都不是。最小邊覆蓋(minimum edge covering)：邊最少的邊覆蓋。邊覆蓋數(edge covering number)：最小邊覆蓋的邊數。

獨立集、極大獨立集

獨立集即一個點集，集合中任兩個結點不相鄰，則稱V為獨立集。或者說是導出的子圖是零圖（沒有邊）的點集。極大獨立集(maximal independent set)：本身為獨立集，再加入任何點都不是。最大獨立集(maximum independent set)：點最多的獨立集。獨立數(independent number)：最大獨立集的點。

團

團即一個點集，集合中任兩個結點相鄰。或者說是導出的子圖是完全圖的點集。極大團(maximal clique)：本身為團，再加入任何點都不是。最大團(maximum clique)：點最多的團。團數(clique number)：最大團的點數。

邊獨立集、極大邊獨立集

邊獨立集即一個邊集，滿足邊集中的任兩邊不鄰接。極大邊獨立集(maximal edge independent set)：本身為邊獨立集，再加入任何邊都不是。最大邊獨立集(maximum edge independent set)：邊最多的邊獨立集。邊獨立數(edge independent number)：最大邊獨立集的邊數。

邊獨立集又稱匹配(matching)，相應的有極大匹配(maximal matching)，最大匹配(maximum matching)，匹配數(matching number)。

支配集、極小支配集

支配集即一個點集，使得所有其他點至少有一個相鄰點在集合裏。或者說是一部分的“點”支配了所有“點”。極小支配集(minimal dominating set)：本身為支配集，其真子集都不是。最小支配集(minimum dominating set)：點最少的支配集。支配數(dominating number)：最小支配集的點數。

邊支配集、極小邊支配集

邊支配集即一個邊集，使得所有邊至少有一條鄰接邊在集合裏。或者說是一部分的“邊”支配了所有“邊”。極小邊支配集(minimal edge dominating set)：本身是邊支配集，其真子集都不是。最小邊支配集(minimum edge dominating set)：邊最少的邊支配集。邊支配數(edge dominating number)：最小邊支配集的邊數。

最小路徑覆蓋

最小路徑覆蓋(path covering)：是“路徑” 覆蓋“點”，即用盡量少的不相交簡單路徑覆蓋有向無環圖G的所有頂點，即每個頂點嚴格屬於一條路徑。路徑的長度可能為0(單個點)。

最小路徑覆蓋數＝G的點數－最小路徑覆蓋中的邊數。應該使得最小路徑覆蓋中的邊數盡量多，但是又不能讓兩條邊在同一個頂點相交。拆點：將每一個頂點i拆成兩個頂點Xi和Yi。然後根據原圖中邊的信息，從X部往Y部引邊。所有邊的方向都是由X部到Y部。因此，所轉化出的二分圖的最大匹配數則是原圖G中最小路徑覆蓋上的邊數。因此由最小路徑覆蓋數＝原圖G的頂點數－二分圖的最大匹配數便可以得解。

匹配

匹配(matching)是一個邊集，滿足邊集中的邊兩兩不鄰接。匹配又稱邊獨立集(edge independent set)。

在匹配中的點稱為匹配點(matched vertex)或飽和點；反之，稱為未匹配點(unmatched vertex)或未飽和點。

交錯軌(alternating path)是圖的一條簡單路徑，滿足任意相鄰的兩條邊，一條在匹配內，一條不在匹配內。

增廣軌(augmenting path)：是一個始點與終點都為未匹配點的交錯軌。

最大匹配(maximum matching)是具有最多邊的匹配。

匹配數(matching number)是最大匹配的大小。

完美匹配(perfect matching)是匹配了所有點的匹配。

完備匹配(complete matching)是匹配了二分圖較小集合（二分圖X，Y中小的那個）的所有點的匹配。

增廣軌定理：一個匹配是最大匹配當且僅當沒有增廣軌。

所有匹配算法都是基於增廣軌定理：一個匹配是最大匹配當且僅當沒有增廣軌。這個定理適用於任意圖。

二分圖的性質

二分圖中，點覆蓋數是匹配數。
(1) 二分圖的最大匹配數等於最小覆蓋數，即求最少的點使得每條邊都至少和其中的一個點相關聯，很顯然直接取最大匹配的一段節點即可。
(2) 二分圖的獨立數等於頂點數減去最大匹配數，很顯然的把最大匹配兩端的點都從頂點集中去掉這個時候剩余的點是獨立集，這是|V|-2*|M|，同時必然可以從每條匹配邊的兩端取一個點加入獨立集並且保持其獨立集性質。
(3) DAG的最小路徑覆蓋，將每個點拆點後作最大匹配，結果為n-m，求具體路徑的時候順著匹配邊走就可以，匹配邊i→j‘,j→k‘,k→l‘....構成一條有向路徑。

（4）最大匹配數=左邊匹配點+右邊未匹配點。因為在最大匹配集中的任意一條邊，如果他的左邊沒標記，右邊被標記了，那麽我們就可找到一條新的增廣路，所以每一條邊都至少被一個點覆蓋。

（5）最小邊覆蓋=圖中點的個數-最大匹配數=最大獨立集。

圖論點、邊集和二分圖的相關概念和性質