題目描述

約翰遭受了重大的損失：蟑螂吃掉了他所有的幹草，留下一群饑餓的牛．他乘著容量為C(1≤C≤50000)個單位的馬車，去頓因家買一些幹草． 頓因有H(1≤H≤5000)包幹草，每一包都有它的體積Vi(l≤Vi≤C).約翰只能整包購買，

他最多可以運回多少體積的幹草呢？

輸入格式

第1行輸入C和H，之後H行一行輸入一個Vi．

輸出格式

最多的可買幹草體積．

很水的01背包裸題，敲著練手感。以免被人說成是大水怪，還是 象征性地 講講01背包的做法......

設dp(i,j)表示裝到第i個物品，用去了j個單位體積時的最大價值；c[i]為第i個物品的重量，v[i]表示第i個物品的價值。那麽顯然：

\[ dp(i,j)= \left\{\begin{array}{rcl} max(dp(i-1,j-c[i])+v[i],dp(i-1,j)) & j>=c[i]\ dp(i-1,j) & j<c[i] \end{array}\right. \]

於是我們填一遍表就可以了，最終答案為dp(n,m).

可以發現對當前計算有用的只有第i層和第i-1層dp數組，之前的都已經沒用了，所以可以用滾動數組優化一下：

\[ dp(d,j)= \left\{\begin{array}{rcl} max(dp(!d,j-c[i])+v[i],dp(!d,j))&j>=c[i]\ dp(!d,j)&j<c[i] \end{array}\right. \]

其實每次j下標的值都是由j-c[i]的值更新過來的，如果我們保證j下標比j-c[i]先更新，我們是可以用一維數組的。具體就是：把循環倒過來做。

\[ dp[j]=max(dp[j-c[i]]+v[i],dp[j]) \]

其時間復雜度為：

\[ O(NM) \]

空間復雜度為：

\[ O(m) \]

那麽這題只需要求能夠運回多少體積的幹草，簡直就是01背包的弱化版：

\[ dp[j]|=dp[j-c[i]] \]

初始化dp[0]=true，最後循環找一下最大的j，其dp[j]=true即可。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define maxn 5001
#define maxm 50001
using namespace std;
 
bool dp[maxm];
int n,m,c[maxn];
 
inline int read(){
    register int x(0),f(1); register char c(getchar());
    while(c<'0'||'9'<c){ if(c=='-') f=-1; c=getchar(); }
    while('0'<=c&&c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
    return x*f;
}
 
int main(){
    m=read(),n=read();
    for(register int i=1;i<=n;i++) c[i]=read();
    dp[0]=true;
    for(register int i=1;i<=n;i++){
        for(register int j=m;j>=c[i];j--) if(dp[j-c[i]]){
            dp[j]=true;
        }
    }
    for(register int i=m;i>=0;i--) if(dp[i]){
        printf("%d\n",i); break;
    }
    return 0;
}
 

為什麽我要給水題寫這麽長的題解

[Usaco2008 Dec]Hay For Sale 購買幹草