When does a digraph admit a doubly stochastic adjacency matrix

Doubly Stochastic:

對於每一個節點，如果輸入權重和輸出權重都等於1，那麽就是雙隨機的有向圖。簡而言之，如果允許雙重隨機鄰接矩陣的有向圖，稱為具有雙重隨機性質。

雙重隨機性是圖中非常良好的性質，並以此展開大量的研究。事實上，這種要求還是比較苛刻的，因此很多算法都在進一步的尋求避免對雙重隨機性的需要。

Notations:

一個有向圖的表示 \(G=(V,E)\)，\(V\)是有限的集稱為頂點集，\(E\subseteq V \times V\)是邊集。

如果每個頂點都有相同數量的鄰居，我們稱這個無向圖是正則的。

令\(E^-\subseteq V\times V\)表示改變\(E\)的元素的順序後的結果，如果\((u,v)\in E\)，那麽\((v,u)\in E^-\). 圖\(\bar{G}=(V,E\cup E^-)\)稱為圖\(G\)的鏡像。

加權有向圖(digraph)用\(G=(V,E,A)\)表示，其中\((V,E)\)表示有向圖，\(A\in R^{n\times n}\)是鄰接矩陣。
那麽一個加權有向圖是如何合並的？
設\(G_1=(V_1,E_1,A_1)\)，\(G_2=(V_2,E_2,A_2)\)，那麽\(G_1\cup G_2=(V_1\cup V_2, E_1 \cup E_2, A)\),其中

$$A|_{V_1 / V_2}=A_1,A|_{V_1 / V_2}=A_2$$

對於有向帶權圖，帶權的出度和入度可以表示為
$$d^w_{out}(v_i)=\sum^n_{j=1}a_{ij},\qquad d^w_{in}(v_i)=\sum^n_{j=1}a_{ij}$$

平衡圖:
一個矩陣 如果\(\sum^n_{i=1}a_{ij}=\sum^n_{j=1}a_{ji}\)，那麽這是一個權重平衡圖。

置換矩陣(permutation matrix)：每一行和每一列僅有一個\(1\).

值得註意的是，當且僅當每一個節點\(d^w_{in}(v)=d^w_{out}(v)\),才是權重平衡圖，也就是雙隨機鄰接圖。

權重平衡圖的結論:

結論1
如果一個圖是權重平衡圖，當且僅當它可以分解成多個權重平衡圖的。
> 如果\(E=E_1\cup E_2 \cup \cdots \cup E_k\)，那麽每一個子圖\(G=(V,E_i)\)也是權重平衡圖。

結論2

對於一個有向圖，以下表述是等價的。

--邊集中每一個元素處在一個循環中。
--\(G\)是權重平衡的。
--\(G\)是強半連通的(strongly semiconnected).

註意強連通和強半連通：

- 如果任何不同的頂點之間都存在路徑，那麽就是強連通的；
- 如果存在從\(w\)到\(v\)的路徑，就一定有從\(v\)到\(w\)的路徑，那麽這個圖就是強半連通的。

顯而易見，強連通包含強半連通。

問題陳述:
所有的雙隨機性的圖都是權重平衡矩陣，因此雙隨機的必要條件就是強半連通性(strong semiconnectedness)。

其次，可以雙重隨機化的 權重平衡圖 不能有孤點。

定理:

一個強半連通有向圖是雙隨機的當且僅當它所有的強連通部分是雙隨機的。

權重平衡矩陣和雙隨機鄰接矩陣的關系
\(Irr(R^{n\times n}_{\ge 0})\)表示不可約矩陣。其中，一個權重有向圖是強連通的當且僅當其鄰接矩陣是不可約的。
不可約矩陣，如果存在一個矩陣$P$使得$P^{‘}AP$為一個分塊上三角陣，就稱\(A\)可約。也有定理：與矩陣A對應的有向圖是強連通的，則不可約。

定理

如果\(A\)是一個有向平衡圖，且是不可約的，那麽當且僅當\(\sum^n_{l=1}=C\)，對每一個$i$都成立，則其對應的圖是雙隨機的。

推論

任何強連通的有向圖都可以在加上一定數量的自循環後變成雙隨機的。

推論

所有的無向正則圖都是雙隨機的。
--所有頂點都有相同數量的鄰居的圖稱為正則圖。

定理

關於 \(G_{cyc}\)的擴展鄰接矩陣是一個置換矩陣，當且僅當\(G_{cyc}\)包含了\(G\)所有的頂點。

有向圖和雙隨機轉移矩陣關系的探討