目錄

• 寫在前面
• 仿射變換：平移、旋轉、放縮、剪下、反射
• 變換矩陣形式
• 變換矩陣的理解與記憶
• 變換矩陣的引數估計
• 參考

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寫在前面

2D影象常見的座標變換如下圖所示：

這篇文章不包含透視變換（projective/perspective transformation），而將重點放在仿射變換（affine transformation），將介紹仿射變換所包含的各種變換，以及變換矩陣該如何理解記憶。

仿射變換：平移、旋轉、放縮、剪下、反射

仿射變換包括如下所有變換，以及這些變換任意次序次數的組合：

平移（translation）和旋轉（rotation）顧名思義，兩者的組合稱之為歐式變換（Euclidean transformation）或剛體變換（rigid transformation）；

放縮（scaling）可進一步分為uniform scaling和non-uniform scaling，前者每個座標軸放縮係數相同（各向同性），後者不同；如果放縮係數為負，則會疊加上反射（reflection）——reflection可以看成是特殊的scaling；

剛體變換+uniform scaling 稱之為，相似變換（similarity transformation），即平移+旋轉+各向同性的放縮；

剪下變換（shear mapping）將所有點沿某一指定方向成比例地平移，語言描述不如上面圖示直觀。

各種變換間的關係如下面的venn圖所示：

通過變換矩陣可以更清晰地看出這些變換間的關係和區別。

變換矩陣形式

沒有平移或者平移量為0的所有仿射變換可以用如下變換矩陣描述：

\[ \left[ \begin{array}{l}{x'} \\ {y'}\end{array}\right]=\left[ \begin{array}{ll}{a} & {b} \\ {c} & {d}\end{array}\right] \left[ \begin{array}{l}{x} \\ {y}\end{array}\right] \]

不同變換對應的\(a, b, c, d\)約束不同，排除了平移變換的所有仿射變換為線性變換（linear transformation），其涵蓋的變換如上面的venn圖所示，其特點是原點位置不變，多次線性變換的結果仍是線性變換。

為了涵蓋平移，引入齊次座標，在原有2維座標的基礎上，增廣1個維度，如下所示：

\[ \left[ \begin{array}{l}{x^{\prime}} \\ {y^{\prime}} \\ {1}\end{array}\right] =\left[ \begin{array}{lll}{a} & {b} & {c}\\ {d} & {e} & {f} \end{array}\right] \left[ \begin{array}{l}{x} \\ {y} \\ {1}\end{array}\right] \]

所以，仿射變換的變換矩陣統一用 \(\left[ \begin{array}{lll}{a} & {b} & {c}\\ {d} & {e} & {f}\end{array}\right]\)來描述，不同基礎變換的\(a,b,c,d,e,f\)約束不同，如下所示：

此外，旋轉和平移相乘得到剛體變換的變換矩陣，如下，有3個自由度（\(\theta, t_x, t_y\)），這裡旋轉方向為逆時針方向，因此與上圖中的正負號不同，
\[ \left[ \begin{array}{ccc}{\cos (\theta)} & {-\sin (\theta)} & {t_{x}} \\ {\sin (\theta)} & {\cos (\theta)} & {t_{y}}\end{array}\right] \left[ \begin{array}{l}{x} \\ {y} \\ {1}\end{array}\right]=\left[ \begin{array}{c}{x^{\prime}} \\ {y^{\prime}} \\ {1}\end{array}\right] \]

再乘上uniform scaling得到相似變換，有4個自由度（\(s, \theta, t_x, t_y\)），如下：

\[ \left[ \begin{array}{ccc}{s\cos (\theta)} & {-s\sin (\theta)} & {t_{x}} \\ {s\sin (\theta)} & {s\cos (\theta)} & {t_{y}}\end{array}\right] \left[ \begin{array}{l}{x} \\ {y} \\ {1}\end{array}\right]=\left[ \begin{array}{c}{x^{\prime}} \\ {y^{\prime}} \\ {1}\end{array}\right] \]

自然，仿射變換的變換矩陣有6個自由度（\(a,b,c,d,e,f\)）。

變換矩陣的理解與記憶

座標系由座標原點和基向量決定，座標原點和基向量確定了，座標系也就確定了。

對於座標系中的位置\((x, y)\)，其相對座標原點在\([1, 0]\)方向上的投影為\(x\)，在\([0, 1]\)方向上的投影為\(y\)——這裡投影的意思是過\((x, y)\)做座標軸的平行線與座標軸的交點到原點的距離，即\((x, y)\)實際為：

\[\left[ \begin{array}{l}{x} \\ {y}\end{array}\right] = x\left[ \begin{array}{l}{1} \\ {0}\end{array}\right] + y\left[ \begin{array}{l}{0} \\ {1}\end{array}\right] = \left[ \begin{array}{ll}{1} & {0} \\ {0} & {1}\end{array}\right] \left[ \begin{array}{l}{x} \\ {y}\end{array}\right]\]

當座標系變化，座標系中的點也跟著變化，但點相對新座標系（\(x'-y'\)座標系）的位置不變仍為\((x, y)\)，以旋轉變換為例，新座標軸的基向量則變為\([\cos (\theta), \sin (\theta)]\)和\([-\sin (\theta), \cos (\theta)]\)，所以點變化到新位置為：

\[\left[ \begin{array}{l}{x'} \\ {y'}\end{array}\right] = x\left[ \begin{array}{l}{\cos (\theta)} \\ { \sin (\theta)}\end{array}\right] + y\left[ \begin{array}{r}{- \sin (\theta)} \\ { \cos (\theta)}\end{array}\right] = \left[ \begin{array}{lr}{\cos (\theta)} & {-\sin (\theta)} \\ {\sin (\theta)} & {\cos (\theta)}\end{array}\right] \left[ \begin{array}{l}{x} \\ {y}\end{array}\right]\]

新位置和新基向量是相對絕對座標系(\(x-y\)座標系）而言的。其他變換矩陣同理。

總結一下：

• 所有變換矩陣只需關注一點：座標系的變化，即基向量和原點的變化；
• 座標系變化到哪裡，座標系中的所有點也跟著做同樣的變化；
• 座標系的變換分為 基向量的變化 以及 座標原點的變化，在仿射變換矩陣 \(\left[ \begin{array}{lll}{a} & {b} & {c}\\ {d} & {e} & {f} \\ 0 & {0} & {1}\end{array}\right]\)中， \(\left[ \begin{array}{l}{a} \\ {d}\end{array}\right]\)和\(\left[ \begin{array}{l}{b} \\ {e}\end{array}\right]\)為新的基向量，\(\left[ \begin{array}{l}{c} \\ {f}\end{array}\right]\)為新的座標原點，先變化基向量，再變化座標原點；

這時再對照上面的各種變換矩陣，就很好理解了。

變換矩陣的引數估計

如果給定兩個對應點集，如何估計指定變換矩陣的引數？

一對對應點可以列兩個線性方程，多個對應點可以列出線性方程組，為了求解引數，需要的對應點數至少為自由度的一半，多個點時構成超定方程組，可以基於最小二乘或者SVD分解等方法進行求解，這裡不再展開。

參考

• Image Alignment and Stitching: A Tutorial
• wiki: Affine transformation
• Geometric Transformation
• Coordinates and Transformations
• Transformations
• Geometric Transformations
• Image Geometry