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非對稱加密演算法-RSA演算法

  加密演算法分為對稱加密演算法和非對稱加密演算法,其中非對稱加密演算法作為計算機通訊安全的基石,在保證資料安全方面起著重要的作用。而相對於對稱加密演算法的易理解性,非對稱加密演算法存在一定的難度。下面通過對RSA演算法的剖析,讓我們更好的理解非對稱加密演算法的原理。

一、對稱加密演算法和非對稱加密演算法

1、對稱加密演算法

  對稱加密演算法:加密和解密都使用同樣規則(金鑰)的演算法。

  (1)、A選擇某一種規則對資訊進行加密;

  (2)、B使用同一規則(逆規則)對資訊進行解密;

2、非對稱加密演算法

  非對稱加密演算法:加密和解密可以使用不同的規則,只要這兩種規則之間存在某種對應關係即可。

  (1)、B根據演算法生成兩把金鑰(公鑰和私鑰),其中私鑰是保密的,公鑰是公開的,供要與B通訊的其它人使用;

  (2)、A從B處獲取公鑰,並用它來加密;

  (3)、B得到A加密後的資訊,用私鑰進行解密,完成通訊;

二、RSA演算法的數學基礎

1、互質關係

  互質又稱為互素,如果兩個或兩個以上的整數的最大公約數是 1,則稱它們為互質。比如7和10,他們最大的公約數是1,所以他們互質。8和10最大的公約數是2,所以他們不是互質。並不是只有兩個質數才能形成互質。
  根據互質關係,可以得出以下結論(後面尤拉函式會用到):

  • 兩個不同的質數一定互質。例如,2與7、13與19。
  • 一個質數,另一個不為它的倍數,這兩個數互質。例如,3與10、5與 26。
  • 1和任何一個自然數都互質。如1和9908。
  • 2的冪和任何一個奇數都互質。如32和75、256與315。
  • 相鄰兩個自然數互質。如15與16。
  • 相鄰兩個奇數互質。如49與51。

2、尤拉函式

  尤拉函式指的是對正整數n,求小於或等於n的正整數中與n互質的數的數目,記作φ(n)。比如1至10中,與10形成互質關係的有1,3,7,9,所以φ(10)=4。
  尤拉函式通用公式為(除n=1外,φ(1)=1):
\[ φ(n)=n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})......(1-\frac{1}{p_r}) \\ n={p_1}^{k_1}*{p_2}^{k_2}......{p_r}^{k_r},其中p_1、p_2......p_r為質數 \]

  比如φ(20)=8計算過程如下:
\[ φ(20)=φ(2^2\times5)=20(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{5})=8 \]
  尤拉函式證明如下:

  • 當n=1時,φ(1) = 1

   因為1與任何數都構成互質關係,則 φ(1) = 1 。

  • 當n是質數,φ(n) =n-1

   因為質數與小於它的每一個數,都構成互質關係,則φ(n) =n-1。如φ(5)=5-1=4。

  • 當n是質數的某個次方,公式如下,其中p為質數,k為大於1的整數
    \[ φ(p^k) =p^k(1-\frac{1}{p}) \]
    因為質數的某個次方與除與質數的倍數外都形成互質關係,而質數的倍數1 * p、2 * p、3 * p、……、p^(k-1) * p,即有p^(k-1)個,則
    \[ φ(p^k) =p^k-p^{k-1}=p^k(1-\frac{1}{p}),如φ(5^3)=5^3(1-\frac{1}{5})=100。 \]

  • 當n可以分解成兩個互質的整數之積,
    \[ φ({p_1}\times{p_2})= φ(p_1)φ(p_2) \]
    該定理用到中國剩餘定理即可證明,具體過程可參考其它文件。如φ(15)=φ(3 * 5)=φ(3) φ(5) =2 * 4 =8。
    根據以上推論,因為任意一個大於1的正整數,都可以寫成一系列質數的積,可以推匯出當n為大於1的整數時:
    \[ n={p_1}^{k_1}{p_2}^{k_2}...{p_r}^{k_r} \]

    \[ φ(n)=φ({p_1}^{k_1}{p_2}^{k_2}...{p_r}^{k_r}) \]

    \[ φ(n)=φ({p_1}^{k_1})φ({p_2}^{k_2})...φ({p_r}^{k_r}) \]

    \[ φ(n)={p_1}^{k_1}(1-\frac{1}{p_1}){p_2}^{k_2}(1-\frac{1}{p_2})...{p_r}^{k_r}(1-\frac{1}{p_r}) \]

    \[ φ(n)={p_1}^{k_1}{p_2}^{k_2}...{p_r}^{k_r}(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})(1-\frac{1}{p_r}) \]

    \[ φ(n)=n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_r}) \]

    以上即為尤拉函式的通用計算公式。

3、尤拉定理

  尤拉定理也稱費馬-尤拉定理,指的是:如果兩個正整數a和n互質,則n的尤拉函式 φ(n) 可以讓下面的等式成立。
\[ a^{φ(n)}=1(mod\ n) \]
  即a的φ(n)次方被n除的餘數為1,或者說a的φ(n)次方減1,能被n整除。如7和5互質
\[ 7^{φ(5)}-1=7^4-1=2401-1=2400,可以被5整除 \]

4、模反元素

  如果兩個正整數a和n互質,那麼一定可以找到整數b,使得 ab-1 被n整除,或者說ab被n除的餘數是1。這時,b就叫做a的模反元素。證明如下:
\[ a^{φ(n)}=a\times a^{φ(n-1)} = 1(mod\ n),其中a^{φ(n-1)}就是a的模反元素 \]

三、RSA演算法過程

1、生成金鑰對(公鑰和私鑰)

  • 隨機找兩個質數a和b(a和b越大越安全),並計算他們的乘積n

    比如 a = 5 ,b = 11。計算他們的乘積 n = 5 * 11 = 55 ,轉化為二進為 110111,該加密演算法即為 6 位。本例子中是為了計算方便,所以取的數比較小,實際演算法是 1024 位 或 2048 位,位數越長,演算法越難被破解。

  • 計算n的尤拉函式m = φ(n)

    根據公式m = φ(55) = φ(5)φ(11) = (5-1)(11-1) = 40

  • 隨機選擇一個整數e,條件是1<e<m,且e與m互質

    我們隨機選擇e=17

  • 計算e對於φ(n)(即m)的模反元素d

    即找一個整數 d,使得 (e * d ) % m = 1。 等價於 e * d - 1 = y * m ( y 為整數) 找到 d ,實質就是對下面二元一次方程求解。 e * x - m * y = 1 。其中 e = 17,m = 40,17x - 40y = 1 這個方程可以用"擴充套件歐幾里得演算法"求解。具體求解過程略,算出一組整數解(x,y )= (33,14),即 d=33。 到此金鑰對生成完畢。不同的e生成不同的d,因此可以生成多個金鑰對。

  本例中公鑰為(n,e) = (55 , 17),私鑰為(n,d) = (55 ,33) ,僅(n,e) =(55 , 17)是公開的,其餘數字均不公開。可以想像如果只有 n 和 e,如何推匯出 d,目前只能靠暴力破解,位數越長,暴力破解的時間越長。

2、加密生成密文

  對明文z採用公鑰(n,e)進行加密,其中明文必須轉換為數字,且必須比n小。加密的公式如下:
\[ z^e=c(mod\ n) \]
  其中z為明文,n和e為公鑰,c為加密後的密文,所以c可以轉換為:
\[ c=z^e \% n \]
  假如明文為15,公鑰(n,e) = (55 , 17),則加密後的密文c為:
\[ c=15^{17}\%55=5 \]

3、解密生成明文

  對密文c採用公鑰(n,d)進行解密,解密的公示如下:
\[ c^d=z(mod\ n) \]
  其中c為密文,n和d為私鑰,z為解密後的明文,所以z可以轉換為:
\[ z=c^d\%n \]
  根據上述條件,密文c為5,私鑰(n,d) = (55 ,33) ,則解密後的明文z為:
\[ z=5^{33}\%55=15 \]

四、RSA演算法有效性證明

1、有效性問題

  根據上述RSA演算法示例,要驗證RSA演算法的有效性,即驗證根據加密公式:
\[ z^e=c(mod\ n) \]
  可以推匯出,解密公式是有效的:
\[ c^d=z(mod\ n) \]

2、證明過程

  根據加密規則,可以推匯出:
\[ c= z^e - kn \]
  將上述式子代入解密公式,即求證以下式子成立:
\[ (z^e-kn)^d = z(mod\ n) \]

\[ z^{ed} = z(mod\ n) \]

  • 當z與n互質時

    根據尤拉定理
    \[ z^{φ(n)} = 1(mod\ n) \]
    則可以推出
    \[ z\times {(z^{φ(n)})}^p=z(mod\ n) \]

    \[ z^{1+pφ(n)}=z(mod\ n) \]

    由於
    \[ ed = 1(mod\ φ(n)) \]

    \[ ed = 1+pφ(n) \]

    所以可以推匯出
    \[ z^{ed} = z(mod\ n) \]

  • 當z與n不為互質時

    因為n=a*b,其中a和b都為質數。因為z和n不為互質,則z和n必定有一個公約數,由於n為兩個質數a和b的乘積,則z一定為a或b的倍數,記作ka或者kb。

    假定z=ka(a=kb同理)。由於b為質數,如果k為b的倍數,即k=hb,則z=hab,其中h為正整數,則推匯出z大於n,但是根據條件被加密的明文必須小於n,所以可以推匯出k不是b的倍數,由於b為質數,所以可以推斷出k和b互質,同理,推匯出ka與b互質,即z與b互質。

    根據尤拉定理,可知下列式子成立:
    \[ z^{φ(b)}≡1(mod\ b) \]
    可推匯出:
    \[ z^{φ(b)}=(ka)^{φ(b)}=(ka)^{b-1}≡1(mod\ b) \]
    對於一個數求餘結果為1,那麼它的n次方,求餘也為1。根據這個定理,可推匯出:
    \[ {[(ka)^{b-1}]}^{h(a-1)}≡1(mod\ b) \]

    \[ {[(ka)^{b-1}]}^{h(a-1)}\times ka≡ka(mod\ b) \]

    \[ {(ka)}^{ed}≡ka(mod\ b) \]

    \[ {(ka)}^{ed}=ka+ob \]

    由於兩名等式成立,且a與b互質,可以推匯出o一定為a的倍數,即0=ja,可推匯出:
    \[ {(ka)}^{ed}=ka+ob=ka+jab \]
    因為z=ka,n=ab,所以可以退出:
    \[ z^{ed}≡z(mon\ n) \]

五、RSA演算法的安全性

  RSA演算法的安全性,是基於目前的條件下,在空間和時間上,無法對它進行有效破解。

  根據上述推導,RSA演算法用到a、b、n、m、e、d六個數字。其中公鑰(n,e)是公開的,其餘的4個數字是保密的。其中金鑰d是演算法的核心。

  • e*d ≡ 1 (mod m)。其中e是公開的,那就需要知道m,才能算出d。
  • 根據公式φ(n)=(a-1)(b-1)=m,要計算出m,必須知道a和b。
  • n=ab。只有將n因數分解,才能算出a和b。

  目前對於大數的因數分解,除了暴力破解,沒有更好的途徑。以現有的計算資源和能力,目前能被破解的最長RSA金鑰就是768位,所以只要保證RSA金鑰是1024位及以上,即可保證演算法的安全性。

六、總結

1、RSA演算法流程

2、RSA演算法安全性

  目前對於大數的因數分解,除了暴力破解,沒有更好的途徑。以現有的計算資源和能力,目前能被破解的最長RSA金鑰就是768位,所以只要保證RSA金鑰是1024位及以上,即可保證演算法的安全性。

3、RSA演算法應用

  在RSA演算法中,公鑰(n,e) 只能加密小於n的整數。對於大於n的整數,可以採用兩種方法。一是把長資訊分割成若干段短訊息,每段分別加密;另一種是先選擇一種對稱性加密演算法加密資訊,再用RSA公鑰加密對稱性加密演算法的金鑰。

  另外,由於RSA演算法效能問題,通常加解密都比較慢,所以通常和對稱性加密演算法一起配合使用