【題意】

補丁在修正\(BUG\)時，有時也會引入新的\(BUG\)，假定有\(n(n<=20)\)個潛在\(BUG\)，和\(m(m<=100)\)個補丁，每個補丁用兩個長度為\(n\)的字串表示，其中字串的每個位置表示一個\(BUG\),第一個串表示打補丁之前的狀態 （“-”表示該\(BUG\)必須不存在，“+”表示該補丁必須存在，0表示無所謂），第二串表示打補丁之後的狀態 （"-"表示不存在，"+"表示存在，"0"表示不變）。每個補丁有一定的執行時間，你的任務是用最小的時間把所有BUG都存在的軟體變得沒有\(BUG\)。

【演算法】

\(\text{隱式圖}\)\(SPFA\)

【分析】

在任意時刻，每個\(BUG\)可能存在也可能不存在，所以可以用\(n\)位二進位制串來表示當前軟體的狀態。打完補丁之後，軟體的BUG狀態會發生改變，對應狀態轉移。是不是很像動態規劃？可惜動態規劃是行不通的，因為狀態經過多次轉移之後可能會回到以前的狀態，即狀態圖並不是DAG。如果直接用記憶化搜尋，會出現無限遞迴。

正確的方法是把狀態看成點，狀態轉移看成邊，轉化成圖論中的最短路徑問題，然後使用\(Dijkstra\)或\(Bellman-Ford\)演算法進行求解。不過這道題和普通的最短路徑問題不一樣:節點很多，有\(2^n\)個，而且很多狀態根本遇不到（即不管怎麼打補丁，也不可能打成那種狀態），所以沒有必要先將原圖儲存好。

孩子咳嗽老不好， 怎麼辦呢？

這裡介紹一種 "隱式圖" 的方法，當需要得到某個點的所有邊時，不是去讀\(G[u]\),而是直接列舉這\(m\)個補丁是否打的上。不管是\(Dijkstra\)還是\(Bellman-Ford\)演算法，這個方法都適用。

• 一些本題的其他小技巧

得到\(x\)的二進位制右起第\(i\)位:x>>(i-1)&1

把\(x\)二進位制的右起第\(i\)位替換為\(a\)(\(a\)或\(0\)或\(1\)）:x^=(x&(1<<(i-1)))^(a<<(i-1))

【程式碼】

思路也說得很清楚了，這裡就不寫註釋了

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=20+10,MAXM=100+10;
int n,m;
struct Node
{
    int t;
    int a[MAXN];
    int b[MAXN];
}patch[MAXM];
int d[2000000];
int T;
inline void init(int k)
{
    cin>>patch[k].t;
    string s;
    cin>>s;
    for(int i=0;i<s.size();i++)
    {
        if(s[i]=='-')patch[k].a[i+1]=-1;
        else if(s[i]=='0')patch[k].a[i+1]=0;
        else patch[k].a[i+1]=1;
    }
    cin>>s;
    for(int i=0;i<s.size();i++)
    {
        if(s[i]=='-')patch[k].b[i+1]=-1;
        else if(s[i]=='0')patch[k].b[i+1]=0;
        else patch[k].b[i+1]=1;
    }
}
inline bool check(int sum,int k)
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(patch[k].a[i]==0)continue;
        if(patch[k].a[i]==-1 && (sum>>(n-i)&1)==0 )continue;
        if(patch[k].a[i]==1 && (sum>>(n-i)&1)==1 )continue;
        return 0;
    }
    return 1;
}
inline int get(int sum,int k)
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(patch[k].b[i]==0)continue;
        if(patch[k].b[i]==-1)sum^=(sum&(1<<(n-i)))^(0<<(n-i));
        else sum^=(sum&(1<<(n-i)))^(1<<(n-i));
    }
    return sum;
}
inline void SPFA()
{
    memset(d,0x3f,sizeof(d));
    queue<int>q;
    q.push((1<<n)-1);
    d[(1<<n)-1]=0;
    while(q.size())
    {
        int now=q.front();
        //cout<<now<<endl;
        q.pop();
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            if(!check(now,i))continue;
            int x=get(now,i);
            //cout<<x<<endl;
            if(d[now]+patch[i].t<d[x])
            {
                d[x]=d[now]+patch[i].t;
                q.push(x);
            }
        }
    }
}
int main()
{
    //ios::sync_with_stdio(false);
    while(cin>>n>>m)
    {
        if(n==0&&m==0)break;
        T++;
        for(int i=1;i<=m;i++)
            init(i);
        //cout<<patch[1].a[1]<<" "<<patch[1].a[2]<<" "<<patch[1].a[3]<<endl;
        SPFA();
            printf("Product %d\n",T);
        if(d[0]==0x3f3f3f3f)
            printf("Bugs cannot be fixed.\n");
        else
            printf("Fastest sequence takes %d seconds.\n",d[0]);
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}

劉汝佳大法好