3blue1brown系列課程，精美的動畫，配上生動的講解，非常適合幫助建立數學的形象思維，非常值得反覆觀看：

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作者還把製作視訊的用到的程式碼放到了 github 上，有興趣的同學可以研究看看

Github: https://github.com/3b1b/manim

我們節選其中一部分內容，領略一下微積分的奧妙

要了解微積分的本質，我們從一個大家都知道的公式說起。這個公式就是求圓的面積公式：A=πr²

 我們將用微積分的方式來推導這個公式，在這個過程中，我們將利用到微分，積分，和兩者的互逆。

首先我們先將一個圓如下圖切分成數個圓環。我們獲得每個圓環的面積，然後將他們相加不就得到圓的面積了。

所以我們以相同的距離dr將圓切分成若干個同心圓環。

比如圓環的半徑是3，dr取0.1 那麼我們就將一個圓換分成了30個寬度都是0.1的同心圓環：

每一個圓環拉直會得到一個新的形狀，我們將這個形狀近似看做一個矩形

那麼這個矩形的面積就是這個圓環的周長乘以dr，圓環的周長為圓環到圓心的距離*2π

那麼每個圓環的近似面積面積就為：**2πr*dr**(這裡的r是每個圓環到圓心的距離)

你會發現我們的dr 取值越小，那麼我們計算出來的圓的面積也就越精確。

現在如果我們把所有近似矩從小到大一個接一個的排列在一起，我們會有一些全新的發現：

注意，為了方便觀察我們y軸與x軸的比例為5：1

現在我們去的dr是0.1，而我們取的dr值越小，獲得的圓環的數量就越多，而這些圓環的近似矩形面積相加起來的面積就靠近原來的圓的面積。

若是無限多個圓環，那麼我們獲得的近似值越來越靠近真實值。

可是我們取的圓環越多，那麼計算量不就越大，無限多的就代表根本沒法計算。

但注意，當dr取值無限小的時候，我們將所有圓環的面積加起來與下圖三角形的面積是相同的。

這個三角形的底是3 而高最大圓環的周長，也就是圓的周長：2π*3

如果圓的半徑是r，那麼它對應的三角形就是一個底為r，高為2π*r的三角形。根據三角形面積公式，我們得到

圓的面積為：πr²

對於數學家來說，你不光要找到答案，你還想要能發展處解決一般問題的工具和技巧

我們回想一下剛剛發生了什麼。為什麼這樣做是可行的。這個從近似值到精確值的過程，通過這個過程，我們可以瞭解微積分的本質。

最開我們將問題化解為許多微小值的和，來獲得一個近似的結果。

首先我們取每間隔dr值，取一個圓環。我們將一個圓換分成若干個小圓環，將其近似看成若干個矩形，我們就能獲得近似的圓形面積。

這裡的dr 不僅是圓環的寬度，也是每個圓環半徑的間距。

我們將這個這個dr越縮小，dr值取的越小，所有矩形相加的面積就越接近於一個三角形的面積。

我們可以得出結論，原來的原型的面積恰好就是這個三角形的面積。

注意此時已經不是近似值，而是完全準確。

通過這種方法，我們重新推導了計算圓的面積的公式。

現在我們看看這種方法在其他的地方如何發揮作用。

例如，已知騎車在每個時間點上的速度，求這段時間騎車走了多遠的距離。

我們可以用每個時間點的速度乘以這段微小的時間，然後相加求和，就是這一整段時間走的距離的近似值。

從圖中，我們可以看出，最後我們將一個物理學的問題，變成了幾何學的問題。這是不是很有趣？

還有很多的問題都可以這樣來計算，我們將一個複雜的問題，拆解為若干近似於a*b然後相加求和的問題(如上面的速度乘以時間)，

其中每一個乘法計算中的a都是相同的。（如上一例子中，每一個時間點之間的距離是相同的，也就是vt中的t是相同的）

那麼我們就可以將問題轉化為若干細長的矩形面積(a*b不就是求矩形面積的公式？)相加取得近似值的問題。

若是我們取的a（在這個汽車例子中的t）取值越小，我們最終獲得的值就越精確，而且越發靠近求下圖面積的問題的。

等等，這個形狀的面積似乎也不是那麼好求得。

似乎我們不會像求圓的面積的時候那麼的幸運，得到圖形正好是一個三角形。

如上題我們求一個汽車從發動到停止這段時間經過的距離，最後我們得到的這樣一個形狀，我們要怎麼求它的面積呢？

一個二次函式的曲線下的面積要怎麼求呢？

視訊告訴我們，當你在數學上遇到一個特別難解的問題是，不要想著正面硬解，這樣你往往會撞上南牆。

相反，你應該帶著不明確的目的不斷把玩這些概念。

我們將二次函式，x²函式曲線下的面積設定A(x)

那麼A(x)與x²之間有什麼特殊關係呢？

如果我們將x的值增加一點點，那A(x²)的值回發生怎樣的變化呢？

我們把增加的面積叫做dA，x的增加值叫做dx

我們將這個增加的面積近似看做一個矩形。

我們可以得到：

dA≈x²*dx   由此我們得到： dA/dx≈x²

這裡我們dx的值取的越小，那麼這個dA的面積就越接近矩形的面積。dA/dx也就越接近x²

我們將x=3,dx0.001代入這個公式可以得到

現在我們還是不知道神祕的A(x)，但是我們有了這樣一個一個公式：dA/dx≈f(x)

dx取值越小，這個公式就越精確。

作者：guolaomao@cnblogs

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