主成分分析(PCA, Principal Component Analysis)

• 一個非監督的機器學習演算法
• 主要用於資料的降維處理
• 通過降維,可以發現更便於人類理解的特徵
• 其他應用:資料視覺化,去噪等

主成分分析是儘可能地忠實再現原始重要資訊的資料降維方法

原理推導:

如圖,有一個二維的資料集,其特徵分佈於特徵1和2兩個方向

 現在希望對資料進行降維處理,將資料壓縮到一維,直觀的我們可以想到將特徵一或者特徵二捨棄一個,可以得到這樣的結果

　　　　　　　　------- : 捨棄特徵1之後

　　　　　　　　------- : 捨棄特徵2之後

可以看出,捨棄特徵2保留特徵1是一個較好的降維方案,此時點和點之間距離較大,擁有更高的可區分度

此時我們要想,肯定會有比這更好的方案,畢竟這太簡單了

我們想象一下,能夠找到這樣的一條斜線w,將資料降維到w上(對映到w上)之後,能最好的保留原來的分佈特徵,且這些點分佈在了一個軸上(斜線w)後點和點之間的距離也比之前的兩種方案更加的大,此時的區分度也更加明顯

思考:

1. 如何找到讓這個樣本降維後間距最大的軸?
2. 如何定義樣本間距?

在統計學中,有一個直接的指標可以表示樣本間的間距,那就是方差(Variance)

 這樣回過頭來看思考1,問題就變成了:

找到一個軸,使得樣本空間的所有點對映到這個軸之後,方差最大

求解這個軸的過程

將樣例的均值歸為0(demean)

　　將全部樣本都減去樣本的均值,可以將樣本轉化為這種:

　　經過demean後,在各個維度均值均為0,我們可以推出:

　　方便我們進行計算

我們想要求w軸的方向(w₁,w₂),使得  Var(X_project) 最大,X_project 是對映到w軸之後的X的座標

因為我們已經進行了demean操作,均值為0,所以此時

而  ||X_project⁽ⁱ⁾||² 的實際長度就是下圖中藍色向量的長度

實際上,求把一個向量對映到另一個向量上的對應對映的長度,就是線性代數中點乘的操作

此時w是一個方向向量,||w|| = 1,所以可以化簡成:

且因為前面已經推知

通過替換,我們就得到了:

而我們的目標,就是求w,使得Var(X_project) 最大

對公式進行拆分

再化簡:

至此,我們的主成分分析法就化簡成了一個目標函式最優化問題,因為是求最大值,可以使用梯度上升法解決

使用梯度上升法求解PCA

目標: 求w,使得 最大

f(X)的梯度

此時再觀察,可以將式子展開能夠得到這樣的結果:

再化簡,可得:

　　原式 = 

　　　　 = 

最後就得出結論:

那麼,求出第一個主成分之後,如何求出下一個主成分呢?

資料進行改變,將資料在第一主成分上的分量去掉,如圖

Xpr⁽ⁱ⁾ 是第一主成分,原資料去掉第一主成分之後可以得到

再在 X'⁽ⁱ⁾ 上求第一主成分即可求出原資料的第二主成分,以此類推..

程式碼實現

 1 import numpy as np
 2 import matplotlib.pyplot as plt
 3 
 4 # 生成測試資料
 5 X = np.empty((100, 2))
 6 X[:, 0] = np.random.uniform(0., 100., size=100)
 7 X[:, 1] = 0.75 * X[:, 0]+ 3. + np.random.normal(0, 10., size=100)
 8 
 9 #  均值歸零方法
10 def demean(X):
11     return X - np.mean(X, axis=0)
12 
13 X_demean = demean(X)
14 
15 #  梯度上升法
16 def f(w, X):
17     return np.sum((X.dot(w)**2)) / len(X)
18 def df(w, X):
19     return X.T.dot(X.dot(w)) * 2. / len(X)
20 
21 #  將w轉化為單位向量,方便計算
22 def direction(w):
23     return w / np.linalg.norm(w)
24 
25 #求第一主成分
26 def first_component(X, initial_w, eta, n_iters = 1e4, epsilon = 1e-8):
27     
28     w = direction(initial_w)
29     cur_iter = 0
30     
31     while cur_iter < n_iters:
32         gradient = df(w, X)
33         last_w = w
34         w = w + eta * gradient
35         w = direction(w)  # 每次求一個單位方向
36         if abs(f(w, X) - f(last_w, X)) < epsilon:
37             break
38         
39         cur_iter += 1
40     return w
41 
42 initial_w = np.random.random(X.shape[1]) # 不能從零開始
43 
44 eta = 0.01
45 
46 def first_n_component(n, X, eta=0.01, n_iters = 1e4, espilon = 1e-8):
47     X_pca = X.copy()
48     X_pca = demean(X_pca)
49     res = []
50     for i in range(n):
51         initial_w = np.random.random(X_pca.shape[1])
52         w = first_component(X_pca, initial_w, eta)
53         res.append(w)
54         
55         X_pca = X_pca - X_pca.dot(w).reshape(-1, 1)
56         X_pca = X_pca * w
57     return res
58 
59 # 注意 不能使用StandardScaler標準化資料 這樣會打掉樣本間的方差 求不出想要的結果
60 
61 res = first_n_component(2, X)

&n