資料結構與算法系列九（遞迴詳解）
1.引子
1.1.為什麼要學習資料結構與演算法？
有人說，資料結構與演算法，計算機網路，與作業系統都一樣，脫離日常開發，除了面試這輩子可能都用不到呀！
有人說，我是做業務開發的，只要熟練API，熟練框架，熟練各種中介軟體，寫的程式碼不也能“飛”起來嗎？
於是問題來了：為什麼還要學習資料結構與演算法呢？
#理由一：
面試的時候，千萬不要被資料結構與演算法拖了後腿
#理由二：
你真的願意做一輩子CRUD Boy嗎
#理由三：
不想寫出開源框架，中介軟體的工程師，不是好廚子
1.2.如何系統化學習資料結構與演算法？
我想好了，還是需要學習資料結構與演算法。但是我有兩個困惑：
1.如何著手學習呢？
2.有哪些內容要學習呢？
學習方法推薦：
#學習方法 1.從基礎開始，系統化學習 2.多動手，每一種資料結構與演算法，都自己用程式碼實現出來 3.思路更重要：理解實現思想，不要背程式碼 4.與日常開發結合，對應應用場景
學習內容推薦：
資料結構與演算法內容比較多，我們本著實用原則，學習經典的、常用的資料結構、與常用演算法
#學習內容：
1.資料結構的定義
2.演算法的定義
3.複雜度分析
4.常用資料結構
陣列、連結串列、棧、佇列
散列表、二叉樹、堆
跳錶、圖
5.常用演算法
遞迴、排序、二分查詢
搜尋、雜湊、貪心、分治
動態規劃、字串匹配2.考考你
在上一篇【資料結構與算法系列八（遞迴見面禮）】中，通過兩個小案例：
1.求最終推薦人
2.電影院看電影
相信你已經對遞迴有一個直觀的認識了。那麼這一篇我們來對遞迴做一個詳細的分析，比如以下這幾個問題，如果你都知道，那麼恭喜你！你都會搶答了（開個玩笑，這是黑土大爺說的：不是賣車，就是賣柺，對吧）。
言歸正傳，關於遞迴，我們只需要搞清楚以下幾個問題，就算是完全掌握了。很簡單有沒有？
#考考你： 1.你知道哪些問題適合用遞迴解決嗎？ 2.你知道編寫遞迴程式碼的關鍵步驟嗎？
3.案例
3.1.遞迴解決的問題模板
我們說每一種資料結構與演算法，都是在特定問題域下的產物；也就是說每一種資料結構與演算法，都有它們各自適用的問題場景。
關於遞迴，結合上一篇：求最終推薦人、電影院看電影案例，我們可以歸納如下：
1.問題可以分解為子問題
簡述：
對於一個問題的求解，本身可以被分解為更小的子問題
案例：
電影院案例：我們在哪一排的問題，可以分解為我們的前一排人在哪一排的子問題
2.問題的求解，與分解後的子問題，求解思路一致
簡述：
問題本身的求解思路，與分解後的子問題求解思路一致
案例：
電影院案例：求解我們在哪一排的問題思路，與求解我們前一排人在哪一排的思路一致
3.問題的求解，存在終止條件
簡述：
注意，這一條很重要，遞迴一定要有明確的終止條件，否則就等於死迴圈了
案例：
電影院案例：存在終止條件，如果是第一排，則f(1)=1
3.2.編寫遞迴程式碼關鍵步驟
知道了遞迴適合解決的問題，那麼在實際軟體開發中，我們該如何更有效率的編寫遞迴程式碼呢？有沒有什麼套路，或者模板。答案是有。
編寫遞迴程式碼，有兩個關鍵步驟：
1.找出遞推公式
簡述：
前面我們說了，遞迴適合於將問題分解為子問題，然後問題本身的求解，與子問題求解思路一致。你需要仔細琢磨並理解這句話的含義，這句話是精髓。如果你理解了，你會發現這其實是一個重複性的問題。
那麼順著這個思路，我們只需要將子問題，在繼續分解問為更小的子問題......一直到子問題不能再分解為止。
這裡需要提醒一個常見的思維誤區：我們在分解問題的時候，千萬不要在大腦裡去重現每一個分解步驟，這樣容易把自己繞進去：走火入魔。畢竟人類的大腦只適合平鋪直敘的思維方式，重複性的東西更適合電腦，對吧。你只需要找出不能再分解的最小子問題，然後解決它就對了。
案例：
電影院案例：f(n)=f(n-1)+1
2.找出終止條件
簡述：
關於遞迴就是一個不斷分解子問題，與求解子問題的過程。因此一定要存在明確的終止條件。一定要找到它，不然就死迴圈了。
案例：
電影院案例：f(1)=1
3.3.走臺階案例
我們通過一個稍微複雜些的案例，來鞏固3.1與3.2兩節的內容。假設有一個n階的臺階，小明每一步可以走1個臺階，或者走2個臺階。求小明走完臺階，總共有多少種走法？
3.3.1.找出遞推公式
我們首先嚐試分析，有這麼幾個前提：
1.總檯階數是n
2.走臺階的方式，一次可以走1個臺階，或者一次可以走2個臺階
那麼根據遞迴求解過程：分解子問題。不過這個案例稍微複雜一些，我們可以假設小明第一步只走1個臺階，是一種走法，即 f(n-1)；第一步走2個臺階，又是一種走法，即f(n-2)。
這樣一來，我們就可以得出遞推公式，走完n個臺階的走法f(n)，等於第一步走1個臺階的走法f(n-1)，加上第一步走2個臺階的走法f(n-2)。即：
#走n個臺階的遞推公式 f(n)=f(n-1)+f(n-2)
3.3.2.找出終止條件
尋找終止條件的前提是，假設子問題不能再分解為更小的子問題的時候，有明確的終止條件。我們繼續嘗試分析：
1.我們假設最後只剩下1個臺階的情況，只有一種走法，即：f(1)=1
2.我們假設最後剩下2個臺階的情況，一次可以走1個臺階，是一種走法；一次可以走2個臺階，又是一種走法。那麼剩下2個臺階的走法是：f(2)=2
#走n個臺階的終止條件 只剩下1個臺階：f(1)=1 剩下2個臺階：f(2)=2
3.3.3.實現程式碼
有了遞推公式，與終止條件，再來編寫遞迴程式碼就是水到渠成的事情了，很簡單了有沒有
/**
* 遞迴求解走n階抬價的走法：
* 1.求解遞推公式
* 1.1.前提：每次可以走1步臺階，或者2步臺階
* 1.2.第一步走法是關鍵：
* 1.2.1.如果第一步走1步臺階，則剩下n-1步臺階
* 1.2.2.如果第一步走2步臺階，則剩下n-2步臺階
* 1.3.根據1.2.1與1.2.2得出：
* 1.3.1.遞推公式：f(n) = f(n-1) + f(n-2)
* 1.3.2.f(n-1)表示剩下n-1步臺階走法
* 1.3.3.f(n-2)表示剩下n-2步臺階走法
*
* 2.求解終止條件
* 2.1.如果只剩下1步臺階，則f(1)=1
* 2.2.如果剩下2步臺階，則f(2)=2，有兩種走法
* @param n
*/
public static int walkingMethod(int n){
// 終止條件f(1)=1
if(n == 1) return 1;
// 終止條件f(2)=2
if(n == 2) return 2;
return walkingMethod(n - 1) + walkingMethod(n -2);
}
4.討論分享
#考考你答案：
1.你知道哪些問題適合用遞迴解決嗎？
1.1.如果一個問題，滿足三個條件，適合用遞迴解決
a.問題本身，可以分解為子問題
b.問題本身的求解思路，與分解後的子問題求解思路一致
c.求解問題，本身存在明確的終止條件
2.你知道編寫遞迴程式碼的關鍵步驟嗎？
2.1.編寫遞迴程式碼的關鍵步驟，有兩步
a.根據分解後的子問題，找出遞推公式
b.當子問題足夠小的時候，找出終止條件
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