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RNN神經網路產生梯度消失和梯度爆炸的原因及解決方案

1、RNN模型結構

  迴圈神經網路RNN(Recurrent Neural Network)會記憶之前的資訊,並利用之前的資訊影響後面結點的輸出。也就是說,迴圈神經網路的隱藏層之間的結點是有連線的,隱藏層的輸入不僅包括輸入層的輸出,還包括上時刻隱藏層的輸出。下圖為RNN模型結構圖:

 

2、RNN前向傳播演算法

RNN前向傳播公式為:

  其中:

    Stt時刻的隱含層狀態值;

    Ott時刻的輸出值;

    ①是隱含層計算公式,U是輸入x的權重矩陣,St-1t-1時刻的狀態值,WSt-1作為輸入的權重矩陣,$\Phi $是啟用函式;

    ②是輸出層計算公司,V

是輸出層的權重矩陣,f是啟用函式。

  損失函式(loss function)採用交叉熵$L_{t}=-\overline{o_{t}}logo_{_{t}}$(Ot是t時刻預測輸出,$\overline{o_{t}}$是t時刻正確的輸出) 

那麼對於一次訓練任務中,損失函式$L=\sum_{i=1}^{T}-\overline{o_{t}}logo_{_{t}}$, T是序列總長度。

假設初始狀態St為0,t=3 有三段時間序列時,由 ① 帶入②可得到 

  t1、t2、t3 各個狀態和輸出為:

  t=1:

    狀態值:$s_{1}=\Phi (Ux_{1}+Ws_{0})$

    輸出:$o_{1}=f(V\Phi (Ux_{1}+Ws_{0}))$

 

  t=2:

    狀態值:$s_{2}=\Phi (Ux_{2}+Ws_{1})$

    輸出:$o_{2}=f(V\Phi (Ux_{2}+Ws_{1}))=f(V\Phi (Ux_{2}+W\Phi(Ux_{1}+Ws_{0})))$

 

  t=3:

    狀態值:$s_{3}=\Phi (Ux_{3}+Ws_{2})$

    輸出:$o_{3}=f(V\Phi (Ux_{3}+Ws_{2}))=\cdots =f(V\Phi (Ux_{3}+W\Phi(Ux_{2}+W\Phi(Ux_{1}+Ws_{0}))))$

 

3、RNN反向傳播演算法

  BPTT(back-propagation through time)演算法是針對循層的訓練演算法,它的基本原理和BP演算法一樣。其演算法本質還是梯度下降法,那麼該演算法的關鍵就是計算各個引數的梯度,對於RNN來說引數有 U、W、V

反向傳播 

  現對t=3時刻的U、W、V求偏導,由鏈式法則得到:

可以簡寫成:

 

  觀察③④⑤式,可知,對於 V 求偏導不存在依賴問題;但是對於 W、U 求偏導的時候,由於時間序列長度,存在長期依賴的情況。主要原因可由 t=1、2、3 的情況觀察得 , St會隨著時間序列向前傳播,同時StU、W 的函式。

  前面得出的求偏導公式⑥,取其中累乘的部分出來,其中啟用函式 Φ 通常是tanh函式 ,則

4、梯度爆炸和梯度消失的原因

  啟用函式tanh和它的導數影象如下:

 

由上圖可知當啟用函式是tanh函式時,tanh函式的導數最大值為1,又不可能一直都取1這種情況,實際上這種情況很少出現,那麼也就是說,大部分都是小於1的數在做累乘,若當t很大的時候,$\prod_{j=k-1}^{t}tan{h}'W$中的$\prod_{j=k-1}^{t}tan{h}'$趨向0,舉個例子:0.850=0.00001427247也已經接近0了,這是RNN中梯度消失的原因。

再看⑦部分:

$\prod_{j=k-1}^{3}\frac{\partial s_{j}}{\partial s_{j-1}}=\prod_{j=k-1}^{3}tan{h}'W$

如果引數 W 中的值太大,隨著序列長度同樣存在長期依賴的情況,$\prod_{j=k-1}^{t}tan{h}'W$中的$\prod_{j=k-1}^{t}tan{h}'$趨向於無窮,那麼產生問題就是梯度爆炸。

在平時運用中,RNN比較深,使得梯度爆炸或者梯度消失問題會比較明顯。

5、解決梯度爆炸和梯度消失的方案

1)採使用ReLu啟用函式

  面對梯度消失問題,可以採用ReLu作為啟用函式,下圖為ReLu函式:

  ReLU函式在定義域大於0部分的導數恆等於1,這樣可以解決梯度消失的問題,(雖然恆等於1很容易發生梯度爆炸的情況,但可通過設定適當的閾值可解決)。

另外計算方便,計算速度快,可以加速網路訓練。但是,定義域負數部分恆等於零,這樣會造成神經元無法啟用(可通過合理設定學習率,降低發生的概率)。

  ReLU有優點也有缺點,其中的缺點可以通過其他操作取避免或者減低發生的概率,是目前使用最多的啟用函式。

還可以通過更改內部結構來解決梯度消失和梯度爆炸問題,那就是LSTM了。

2)使用長短記憶網路LSTM

  使用長短期記憶(LSTM)單元和相關的門型別神經元結構可以減少梯度爆炸和梯度消失問題,LSTM的經典圖為:

可以抽象為:

  三個×分別代表的就是forget gate,input gate,output gate,而我認為LSTM最關鍵的就是forget gate這個部件。這三個gate是如何控制流入流出的呢,其實就是通過下面 ft,it,ot 三個函式來控制,因為$\sigma (x)$代表sigmoid函式) 的值是介於0到1之間的,剛好用趨近於0時表示流入不能通過gate,趨近於1時表示流入可以通過gate。

$f_{t}=\sigma (W_{f}X_{t}+b_{f})$

$i_{t}=\sigma (W_{i}X_{t}+b_{i)$

$o_{t}=\sigma (W_{o}X_{t}+b_{o})$

  LSTM當前的狀態值為: $S_{t}=f_{t}S_{t-1}+i_{t}X_{t}$,表示式展開後得:

$S_{t}=\sigma (W_{f}X_{t}+b_{f})S_{t-1}+\sigma (W_{i}X_{t}+b_{i})X_{t}$

  如果加上啟用函式:

$S_{t}=tanh[\sigma (W_{f}X_{t}+b_{f})S_{t-1}+\sigma (W_{i}X_{t}+b_{i})X_{t}]$

  上文中講到傳統RNN求偏導的過程包含:

$\prod_{j=k-1}^{t}\frac{\partial s_{j}}{\partial s_{j-1}}=\prod_{j=k-1}^{t}tan{h}'W$ 

  對於LSTM同樣也包含這樣的一項,但是在LSTM中 為:

$\prod_{j=k-1}^{t}\frac{\partial s_{j}}{\partial s_{j-1}}=\prod_{j=k-1}^{t}tan{h}'(W_{f}X_{t}+b_{f})$

  假設$Z=tanh'(x)\sigma (y)$,則Z的函式影象如下圖所示:

 

  可以看到該函式值基本上不是0就是1。

  傳統RNN的求偏導過程:

$\frac{\sigma L_{3}}{\sigma W}=\sum_{k=0}^{t}\frac{\partial L_{3}}{\partial o_{3}}\frac{\partial o_{3}}{\partial s_{3}}(\prod_{j=k-1}^{3}\frac{\partial s_{j}}{\partial s_{j-1}})\frac{\partial s_{k}}{\partial W}$

  如果在LSTM中上式可能就會變成:

$\frac{\sigma L_{3}}{\sigma W}=\sum_{k=0}^{t}\frac{\partial L_{3}}{\partial o_{3}}\frac{\partial o_{3}}{\partial s_{3}}\frac{\partial s_{k}}{\partial W}$

  因為$\prod_{j=k-1}^{3}\frac{\partial s_{j}}{\partial s_{j-1}}=\prod_{j=k-1}^{3}tan{h}'\sigma (W_{f}X_{t}+b_{f})\approx 0|1$,這樣解決了傳統RNN中梯度消失的問題。

 

參考

  https://www.jiqizhixin.com/articles/2019-01-17-7

  https://zhuanlan.zhihu.com/p/2868