> [資料結構動圖展示網站](https://www.cs.usfca.edu/~galles/visualization/Algorithms.html) ### 樹的概念 樹（英語：tree）是一種抽象資料型別（ADT）或是實作這種抽象資料型別的資料結構，用來模擬具有樹狀結構性質的資料集合。它是由n（n>=1）個有限節點組成一個具有層次關係的集合。把它叫做“樹”是因為它看起來像一棵倒掛的樹，也就是說它是根朝上，而葉朝下的。它具有以下的特點： - 每個節點有零個或多個子節點； - 沒有父節點的節點稱為根節點； - 每一個非根節點有且只有一個父節點； - 除了根節點外，每個子節點可以分為多個不相交的子樹； - **節點的度**：一個節點含有的子樹的個數稱為該節點的度； - **樹的度**：一棵樹中，最大的節點的度稱為樹的度； - **葉節點或終端節點**：度為零的節點； - **父親節點或父節點**：若一個節點含有子節點，則這個節點稱為其子節點的父節點； - **孩子節點或子節點**：一個節點含有的子樹的根節點稱為該節點的子節點； - **兄弟節點**：具有相同父節點的節點互稱為兄弟節點； - **節點的層次**：從根開始定義起，根為第1層，根的子節點為第2層，以此類推； - **樹的高度或深度**：樹中節點的最大層次； - **堂兄弟節點**：父節點在同一層的節點互為堂兄弟； - **節點的祖先**：從根到該節點所經分支上的所有節點； - **子孫**：以某節點為根的子樹中任一節點都稱為該節點的子孫。 - **森林**：由m（m>=0）棵互不相交的樹的集合稱為森林； ### 二叉樹 每個節點最多含有兩個子樹的樹稱為二叉樹 - 平衡二叉樹（AVG樹）: 當且僅當任何節點的兩棵子樹的高度差不大於1的二叉樹 - 完全二叉樹: 對於一顆二叉樹，假設其深度為d(d>1)。除了第d層外，其它各層的節點數目均已達最大值，且第d層所有節點從左向右連續地緊密排列，這樣的二叉樹被稱為完全二叉樹，其中滿二叉樹的定義是所有葉節點都在最底層的完全二叉樹; - 排序二叉樹: (二叉查詢數 Binary Search Tree), 也稱二叉搜尋樹，有序二叉樹，任意一個結點左邊子節點的資料要比根結點的值小，右邊子節點的資料要比根結點的值大。**但是如果二叉樹是單增的情況會退化成連結串列** ### 二叉樹的遍歷 1. 深度優先遍歷 - 先序遍歷 preorder 在先序遍歷中，我們先訪問根節點，然後遞迴使用先序遍歷訪問左子樹，再遞迴使用先序遍歷訪問右子樹 根節點->左子樹->右子樹 - 中序遍歷 inorder 在中序遍歷中，我們遞迴使用中序遍歷訪問左子樹，然後訪問根節點，最後再遞迴使用中序遍歷訪問右子樹 左子樹->根節點->右子樹 - 後序遍歷 postorder 在後序遍歷中，我們先遞迴使用後序遍歷訪問左子樹和右子樹，最後訪問根節點 左子樹->右子樹->根節點 ) 2. 廣度優先遍歷（層次遍歷） ### 二叉樹反推 如果已知***中序和先序，或者中序和後序***，可以確定二叉樹的結構 > eg: > 先序：A B C D E F > 中序: C B A E D F **先序找根，中序定兩邊** 先序遍歷序列為ABCDEF，第一個字母是A被打印出來，就說明A是根結點的資料。 再由中序遍歷序列是CBAEDF，可以知道C和B是A的左子樹的結點， E、D、F是A的右子樹的結點  然後我們看先序中的C和B，它的順序是A**BC**DEF，B是在C的前面列印，所以B應該是A的左孩子，而C就只能是B的孩子，此時是左還是右孩子還不確定。再看中序序列是**CB**AEDF，C是在B的前面列印，這就說明C是B的左孩子，否則就是右孩子了  再看先序中的E、D、F，它的順序是ABC**DEF**，那就意味著D是A結點的右孩子，E和F是D的子孫，注意，它們中有一個不一定是孩子，還有可能是孫子的。再來看中序序列是CBA**EDF**，由於E在D的左側，而F在右側，所以可以確定E是D的左孩子，F是D的右孩子  > 注：如果已經先序和後序無法判斷二叉樹結構 > > 先序序列:ABC > > 後序序列:CBA **我們可以確定A一定是根結點，但接下來，我們無法知道，哪個結點是左子樹，哪個是右子樹**  ### 二叉查詢樹(二叉搜尋樹) 節點的左子樹只包含小於當前節點的數。 節點的右子樹只包含大於當前節點的數。 ***所有左子樹和右子樹自身必須也是二叉搜尋樹*** [Python實現二叉查詢樹](https://github.com/Panlq/NoteBook/blob/master/tree/binary-search-tree.py) 參考以下兩篇文章（**最好是自己畫圖容易理解**）: - [6天通吃樹結構—— 第一天 二叉查詢樹](https://www.cnblogs.com/huangxincheng/archive/2012/07/21/2602375.html) - [二叉排序樹、紅黑樹、AVL 樹最簡單的理解](https://juejin.im/entry/58f4268f61ff4b0058fcb190) ### 二叉平衡樹 [Python實現平衡二叉樹](https://github.com/Panlq/NoteBook/blob/master/tree/AVL-tree.py) 刪除和新增調整的是最小不平衡子樹 平衡二叉樹 （Height-Balanced Binary Search Tree） 是一種二叉排序樹， 其中**每一個結點的左子樹和右子樹的高度差不超過1（小於等於1）** 二叉樹的平衡因子 （Balance Factor） 等於該結點的左子樹深度減去右子樹深度的值稱為平衡因子。平衡因子只可能是[－1，0，1]。距離插入結點最近的，且平衡因子的絕對值大於1的結點為根的子樹，稱為最小不平衡子樹 平衡二叉樹就是二叉樹的構建過程中，每當插入一個結點，看是不是因為樹的插入破壞了樹的平衡性，若是，則找出最小不平衡樹。在保持二叉樹特性的前提下，**調整最小不平衡子樹中各個結點之間的連結關係**，進行相應的旋轉，使之成為新的平衡子樹。簡記為： **步步調整，步步平衡**  參考以下兩篇文章（**最好是自己畫圖**）: > **注：**第一篇文章中針對左右失衡和右左失衡的處理圖片和程式碼中有誤，但是主要是看個人理解，作者可以只對根節點進行失衡處理，而我這邊是按照第二篇文章說的，**調整最小不平衡子樹** - [6天通吃樹結構—— 第二天 平衡二叉樹](https://www.cnblogs.com/huangxincheng/archive/2012/07/22/2603956.html) - [二叉排序樹、紅黑樹、AVL 樹最簡單的理解](https://juejin.im/entry/58f4268f61ff4b0058fcb190) 對於其中新增元素的遞迴程式碼的理解:  ### 霍夫曼樹 （用於資訊編碼）：帶權路徑最短的二叉樹稱為哈夫曼樹或最優二叉樹； 應用: 壓縮檔案 ### B樹(B-Tree) 一種對讀寫操作進行優化的自平衡的二叉查詢樹，能夠保持資料有序，擁有多餘兩個子樹。B樹是多路平衡查詢樹，2階B樹才是平衡二叉樹 應用: 資料庫儲存 M階的Btree的幾個重要特性： 1. 節點最多含有m棵字樹(指標), m-1個關鍵字(存的資料，空間)（m > 2） 2. 除根節點和葉子節點外，其他每個節點至少有ceil（m / 2）個子節點，（ceil為上取整） 3. 若根節點不是葉子節點，則至少有兩棵子樹 M階: 這個由磁碟的頁大小決定，頁記憶體是4KB, 好處是一次性取資料就可以取出這個節點即這個頁資料，不會造成IO讀取的浪費。  ### B+Tree 1. 每個節點最多有m個子節點 2. 除根節點外，每個節點至少有m/2個子節點，注意如果結果除不盡，就取上蒸，如 5/2=3 3. 根節點要麼是空，要麼是獨根，否則至少有2個子節點 4. 有k個子節點的節點必有k個關鍵字 5. 葉節點的高度一致   適合大資料的磁碟索引，經典的MySQL，所有的資料都存在葉子節點，其他上層節點都是索引，增加了系統的穩定性以及遍歷查詢效率。葉子節點之間是雙向指標，這一點就有利於範圍查詢。 **MyISAM儲存引擎的資料結構（非聚集）** 索引檔案和資料檔案是分離的，非聚集（非聚族）  .MYD 儲存資料的檔案 .MYI 儲存索引的檔案 .FRM 表結構檔案，管理索引和資料的框架 **InnoDB索引的實現（聚集）** - 表資料本身就是按B+Tree組織的一個索引結構檔案 - 聚集索引-葉子節點包含了完整的資料記錄，**索引跟資料合併，MySQL預設節點大小為16KB，所以說高度為3的B+樹就能夠儲存千萬級別的資料。** - 為什麼InnoDB表必須有主鍵，並且推薦使用整形的自增主鍵？ - 整形儲存佔用比較少，且比較容易，如果是uuid字串還需要進行轉換且佔用空間大 - 使用自增是為了避免二叉樹的頻繁自平衡分裂，自增主鍵，只需要每次都忘後面增加即可，不會造成大範圍的效能開銷 - 為什麼非主鍵索引結構葉子節點儲存的是主鍵值？（一直性）  **聯合索引的底層儲存結構**  1. [B站-100分鐘講透MySQL索引底層原理](https://www.bilibili.com/video/BV1aE41117sk?p=5) 2. [MySQL底層索引演算法](https://www.bilibili.com/video/BV1AE41117R5?p=8) 3. [為什麼 MySQL 使用 B+ 樹](https://draveness.me/whys-the-design-mysql-b-plus-tree/) 4. [MYSQL-B+TREE索引原理-詳細解釋了SQL語句的執行過程](https://www.jianshu.com/p/486a514b0ded) ### 常見樹的應用場景 1. xml，html等，那麼編寫這些東西的解析器的時候，不可避免用到樹 2. 路由協議就是使用了樹的演算法 3. mysql資料庫索引 4. 檔案系統的目錄結構 5. 所以很多經典的AI演算法其實都是樹搜尋，此外機器學習中的decision tree也是樹結構 ![image.png](https://i.loli.net/2020/07/02/t8PM4ZyIi51EF