本文主要介紹系統屬性以及推匯出時不變系統的卷積公式。

1.系統的概念

一個系統簡而言之就是，接受輸入，產生輸出。

人的眼睛接受光訊號，在大腦中產生化學訊號(使得我們能夠看到外界)就是一種系統。系統的範圍很廣闊，可以說萬物皆系統。

連續時間系統t的取值為所有實數用圓括號()表示, 離散時間系統的取值為所有整數用方括號[]表示。

2.系統屬性

• 無記憶系統(memoryless), 就是輸出y[n]只取決相同時間點x[n]的輸入,例如y[n] = 2*x[n]^2,

• 有記憶系統(memory)， 輸出不僅取決於同時刻的輸入值，也取決於過去的值。例如y[n] = x[n] + x[n - 1]

• 因果性(casual),即不可預測未來，當前輸出的值y[n]只取決於當前或之前的輸入，比如y[n] = x[n] + x[n-1]。同時，無記憶系統和有記憶系統都是因果性系統。

• 時不變(time invariance)，系統的性質不會隨著時間發生變化。一個時變系統是人眼，十年前你看到的一束光和現在你看到的一束光感受是不一樣的，你的眼睛在老化，你感覺到的光的強度可能因為老化而變得模糊。一個系統當輸入為x[n]的輸出是y[n]，當輸入為x[n-n0]的時候,輸出是y[n-n0]，這樣子的系統就是時不變系統。(x[n - n0] 是x[n] 的訊號延遲(delay) n0個單位後的序列)

• 線性(linearity), 當輸入為x1[n],輸出為y1[n]。輸入為x2[n]，輸出為y2[n]。則若輸入為a*x1[n] + b*x2[n] ，輸出滿足a*y1[n] + b*y2[n]的系統稱為線性系統。

   

3.卷積推導

在訊號分析中，我們常常會把一個訊號分解成許多我們熟悉的訊號，比如δ[n]和e^(iwt)。

對於離散系統，假設我們的輸入的x[n]如下.

則我們可以把這個訊號分解成多個衝激函式δ[n]之和.

由上圖知輸入訊號x[n] = x[0]δ[n] + x[1]δ[n-1] + x[-1]δ[n+1] 。

自然而然我們可以想到，用這種分解的方式表示所有的訊號。

現在假設我們的δ[n-k]經過系統後的響應是h_k[n].

如果此係統是線性系統的話，我們利用線性系統的的性質，如下。

則x[n] 輸入系統後的輸出y[n]

如果此係統恰好又是時不變系統的話.我們利用時不變系統的性質

我們把第3個式子帶入第1個式子，得到如下式子。其中 ∗代表卷積(convolve)符號

從剛剛的推導我們知道，對於線性時不變系統來說，只要知道衝擊響應h[n]，對於任何的輸入我們都可以知道輸出(輸入δ[n]後就能得到h[n])。所以h[n]描繪了一個系統的全貌，我們常用h[n]來代表一個系統,如下。

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