【牛津通識讀本：數學】讀書筆記
ofollow,noindex" target="_blank">牛津通識讀本：數學
序言
他的一個基本的觀點：對於數學，不要問它是什麼，而只要問它能做什麼。
這一抽象化的思考方法，將重點放在數學內部體系的相容性，強調新的數學概念、方法與內容和已有的數學體系應自然地融為一體，強調要將有關的數學內容脫離其物理上的實在、變為符合一些特定規則的記號，就會更利於應用，更利於正確地理解高等的數學。
第一章 模型
還有一種遠為明智的辦法：首先決定你需要達到什麼樣的精確度，然後用盡可能簡單的辦法達到它。
最簡單的辦法就是假設分子都遵從這樣的運動規則，分子之間絕對沒有相互作用。
麥克斯韋的成就之一就是發現了一個優美的理論，來解決如何更逼真地選擇初始速率的問題。
說數學是一個抽象的領域，這包含兩層含義：一來它從問題中抽象出重要特徵，二來它所處理的物件不是具體的、有形的。
數與抽象
自然數
數的概念與加法、乘法這樣的算術運算緊密相連。
考慮規則，而不是考慮數字本身。
- A1 加法交換律：對任意兩個數 $a$ 和 $b$，有 $~a+b=b+a$。
- A2 加法結合律：對任意三個數 $a$、$b$ 和 $c$，有 $a+(b+c)=(a+b)+c$。
- M1 乘法交換律：對任意兩個數 $a$ 和 $b$，有 $ab=ba$。
- M2 乘法結合律：對任意三個數 $a$、$b$ 和 $c$，有 $a(bc)=(ab)c$。
- M3 $1$ 是乘法單位元：對任意數 $a$，有 $1a=a$。
- D 分配律：對任意三個數 $a$、$b$ 和 $c$，有 $(a+b)c=ac+bc$。
零
但從抽象的觀點來看，$0$ 其實很明確：它只不過是引入到我們數系中的一個新記號而已，並且滿足下面這條特殊的性質。
- A3 $0$ 是加法單位元：對任意數 $a$，有 $0+a=a$。
負數和分數
只需再增加兩條規則來擴充我們的數系：一條給我們帶來負數，另一條給我們帶來分數，即我們所熟知的有理數。
- A4 加法逆元：對任意數 $a$，總存在一個數 $b$ 使得 $a+b=0$。
-
M4乘法逆元：對任意不為 $0$ 的數 $a$，總存在一個數 $c$使得 $ac=1$。
規則 A4 和 M4 還蘊含了另外兩條規則，即消去法則。
- A5 加法消去律：對任意三個數 $a$、$b$ 和$c$，若 $a+b=a+c$，則 $b=c$。
-
M5乘法消去律：對任意三個數 $a$ 、$b$ 和$c$，若 $ab=ac$ 且 $a$ 不為 $0$，則 $b=c$。
實數和複數
複數作為最佳的例證之一，向我們表明了一條概括性的原則：一種抽象的數學構造若是充分自然的，則基本上必能作為模型找到它的用途。
把負數和分數放到指數上
在本例中即需要忽視 $a^n$的內在意義，轉而考慮關於它的規則。
關於指數的兩條規則是：
- E1 對任意實數 $a$，a^1=a。
- E2 對任意實數 $a$ 和任意一對自然數 $m$、 $n$，有 $a^{m+n}=a^m×a^n$。
第三章 證明
根號2的無理性
公理系統的主要問題並不是公理的真實性，而是公理的自洽性和有用性。
黃金分割比的無理性
我們經常想從證明中得到更多的東西，而不僅僅是確信它的正確性。
三條看似顯然實則需要證明的陳述
如果腦子裡立刻就有證明，那麼這條陳述才是顯然的。
從 $P$ 出發畫一條線，一直畫到遠離曲線的另一點 $Q$，也就是使 $Q$ 明顯位於曲線外面。如果畫的這條線和原曲線相交奇數次，那麼 $P$ 位於曲線裡面，否則位於曲線外面。
任意簡單閉合曲線都有裡面和外面這一命題，正是一個著名的數學定理，稱作若爾當曲線定理 。
我們不要關注面積是什麼，而是關注面積能夠做什麼。……我們應當關注，關於面積的任何合理概念所應具有的一些屬性。
第五章 維度
高維幾何又是一例最好從抽象角度來理解的概念。讓我們不去擔心二十六維空間的存在等等，而去考慮它的性質。
高維幾何中的點是什麼？
為什麼二維幾何適用於這個運動過程的模型化呢？因為在這裡有兩個我們關心的數——流逝的時間和走過的距離——如我所說過的，我們可以將二維空間看作所有成對的數的集合。
這就提示了我們，為什麼高維幾何會有用處。宇宙中可能並沒有潛藏著高維空間，但需要同時考慮好幾個數的情形卻有不少。
分數維
科赫雪花 的“拓撲維數”是1。粗略地講，這是因為它像直線段一樣，刪掉內部任何一個點後就分解成為兩個不相連的部分。
第六章 幾何
歐幾里得幾何
下面是歐幾里得的公理：
- 任意兩點有且只有一條直線段相連
- 任意直線段可以兩端延伸形成一條直線，且只能形成一條直線。
- 給定任意一點 $p$ 及任意長度 $r$，存在以 $r$ 為半徑，$p$ 為圓心的原。
- 任意兩個直角相等。
- 直線 $N$ 與兩條直線 $L$ 和 $M$ 相交，若 $N$ 的同旁內角之和小於兩內角，則 $L$ 和 $M$ 相交於 $N$ 這一側。
第五條公理與所謂的“平行公設”是等價的。平行公設斷言，給定任意直線 $L$ 和直線外一點 $x$，有且只有一條直線 $M$ 經過 $x$ 且永遠不與 $L$ 相交。
球面幾何
要重新解釋直線是什麼意思，從而使球面上的確可以包含直線。
一種自然的定義的：一條線段就是完全位於球面內的從 $x$ 到 $y$ 的最短路徑。
雙曲幾何
理解圓盤模型比理解球面幾何要複雜，不光要重新解釋“直線”和“直線段”等詞語，還要重新解釋距離這個觀念。
這種扭曲會產生一個眾所周知的效應，地球表面上兩點間最短路線在地圖上就顯示成了彎的。
數學概念的實在性更多地與它做什麼而不是與它是什麼相關。
空間何以能夠彎曲？
於是，從曲面內部說明二維曲面彎曲的一種方法，就是找出內角和不為 180 度的三角形，而且這種辦法也是可以在三維中嘗試的。
負性彎曲的證據就會是，三角形內角和小於 180 度，沿相同方向的直線會發散，或者是半徑為 $r$ 的圓的周長大於 $2πr$。這類行為在雙曲圓盤上會發生。
估計和近似
近似的方法
作類似於剛才的關於近似的論斷時，明確什麼才算是較好的近似很重要，因為標準會隨著情景的不同而變化。如果想用一條能夠簡單定義的序列 $b_1,b_2,b_3,\dots$ 來近似一條穩定增大的序列 $a_1,a_2,a_3,\dots$，那麼我們所能期待的最優近似——實則很少能夠達到，就是每一對 $a_n$ 和 $b_n$ 的差距都小於一定值——諸如 1000。那麼隨著 $a_n$ 和 $b_n$ 增大，它們的比值會非常接近於 1。
一類較優的近似是，隨著 $n$ 的增大， $a_n$和 $b_n$ 的比值變得非常接近 1。當 $b_n$ 和 $b_n$ 相差常數以內相等時，這種情況是成立的，但它在其他一些情況下也會成立。
常見的一種方法是，如果an和bn“相差常數倍以內相等”，就視之為近似相等。
如果連這樣程度的近似都是奢求，那也常常值得去找出兩條參考序列 $a_1,a_2,a_3,\dots$ 和 $c_1,c_2,c_3,\dots$，並證明 $b_n$ 總小於 $a_n$，而 $c_n$ 總大於 $a_n$。那麼我們可以說 $b_n$ 是 $a_n$ 的“下界”，$c_n$ 是 $a_n$ 的“上界”。
關於對數、平方根等你只需要知道這些
從近似的觀點看它們其實極為簡單：一個數的對數基本上就是它所包含的位數。
一個數的自然對數，即在計算器上按LN 鍵得到的數，大體上是它的位數乘以 2.3 上下。
素數定理
素數定理陳述的是，在數 $n$ 附近的素數密度約為 $1/log_en$，即 1 除以 $n$ 的自然對數。
常見問題
1. 數學家在30歲以後就不比當年了，這是真的嗎？
費馬大定理（即對任意正整數 $x$，$y$，$z$ 及大於 2 的正整數 $n$，$x^n+y^n$ 不可能等於 $z^n$）
2. 為什麼女性數學家很少見？
可信的一種理由是社會方面的因素：當男孩子為數學能力感到驕傲時，可以想象某個女孩子可能會為自己擅長這項不那麼女性化的事務而感到窘迫。
比起其他學科來，數學需要一個人更加專注。
4. 為什麼有那麼多人旗幟鮮明地厭惡數學？
習數學時的步步跟進不僅僅是保持技術熟練度而已。數學中常常會引入重要的新思想，新思想會比舊思想更加複雜，每一個新思想的引入都有可能把我們甩在後面。
6. 數學研究何以可能進行？
一種生成問題的好辦法是去找一種很難精確分析的數學現象，然後努力對它作一些近似的陳述。
另一種辦法：選一種較難的數學概念，諸如四維流形，然後你通常就會發現，關於這些概念，即便很簡單的問題也非常難解答。