探尋 JavaScript 精度問題
閱讀完本文可以瞭解到 0.1 + 0.2 為什麼等於 0.30000000000000004 以及 JavaScript 中最大安全數是如何來的。
十進位制小數轉為二進位制小數方法
拿 173.8125 舉例如何將之轉化為二進位制小數。
①. 針對整數部分 173，採取 除 2 取餘，逆序排列 ;
173 / 2 = 86 ... 1 86 / 2 = 43 ... 0 43 / 2 = 21 ... 1↑ 21 / 2 = 10 ... 1| 逆序排列 10 / 2 = 5 ... 0| 5 / 2 = 2 ... 1| 2 / 2 = 1 ... 0 1 / 2 = 0 ... 1 複製程式碼
得整數部分的二進位制為 10101101 。
②. 針對小數部分 0.8125，採用 乘 2 取整，順序排列 ;
0.8125 * 2 = 1.625| 0.625 * 2 = 1.25| 順序排列 0.25 * 2 = 0.5| 0.5 * 2 = 1↓ 複製程式碼
得小數部分的二進位制為 1101 。
③. 將前面兩部的結果相加，結果為 10101101.1101 ;
小心，二進位制小數丟失了精度！
根據上面的知識，將十進位制小數 0.1 轉為二進位制：
0.1 * 2 = 0.2 0.2 * 2 = 0.4 // 注意這裡 0.4 * 2 = 0.8 0.8 * 2 = 1.6 0.6 * 2 = 1.2 0.2 * 2 = 0.4 // 注意這裡，迴圈開始 0.4 * 2 = 0.8 0.8 * 2 = 1.6 0.6 * 2 = 1.2 ... 複製程式碼
可以發現有限十進位制小數 0.1 卻轉化成了無限二進位制小數 0.00011001100... ，可以看到精度在轉化過程中丟失了！
能被轉化為有限二進位制小數的十進位制小數的最後一位必然以 5 結尾(因為只有 0.5 * 2 才能變為整數)。所以十進位制中一位小數 0.1 ~ 0.9 當中除了 0.5 之外的值在轉化成二進位制的過程中都丟失了精度。
推導 0.1 + 0.2 為何等於 0.30000000000000004
在 JavaScript 中所有數值都以 IEEE-754 標準的 64 bit 雙精度浮點數進行儲存的。先來了解下 IEEE-754 標準下的雙精度浮點數。
這幅圖很關鍵，可以從圖中看到 IEEE-754 標準下雙精度浮點數由三部分組成，分別如下：
- sign(符號): 佔 1 bit, 表示正負;
- exponent(指數): 佔 11 bit，表示範圍;
- mantissa(尾數): 佔 52 bit，表示精度，多出的末尾如果是 1 需要進位;
推薦閱讀 ofollow,noindex">JavaScript 浮點數陷阱及解法 ，閱讀完該文後可以瞭解到以下公式的由來。
精度位總共是 53 bit，因為用科學計數法表示，所以首位固定的 1 就沒有佔用空間。即公式中 (M + 1) 裡的 1。另外公式裡的 1023 是 2^11 的一半。小於 1023 的用來表示小數，大於 1023 的用來表示整數。
指數可以控制到 2^1024 - 1，而精度最大隻達到 2^53 - 1，兩者相比可以得出 JavaScript 實際可以精確表示的數字其實很少。
0.1 轉化為二進位制為 0.0001100110011... ，用科學計數法表示為 1.100110011... x 2^(-4) ，根據上述公式， S 為 0 (1 bit)， E 為 -4 + 1023 ，對應的二進位制為 01111111011 (11 bit)， M 為 1001100110011001100110011001100110011001100110011010 (52 bit，另外注意末尾的進位)， 0.1 的儲存示意圖如下:
同理， 0.2 轉化為二進位制為 0.001100110011... ，用科學計數法表示為 1.100110011... x 2^(-3) ，根據上述公式， E 為 -3 + 1023 ，對應的二進位制為 01111111100 , M 為 1001100110011001100110011001100110011001100110011010 , 0.2 的儲存示意圖如下:
0.1 + 0.2 即 2^(-4) x 1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010 與 2^(-3) x 1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010 之和
// 計算過程 0.00011001100110011001100110011001100110011001100110011010 0.0011001100110011001100110011001100110011001100110011010 // 相加得 0.01001100110011001100110011001100110011001100110011001110 複製程式碼
0.01001100110011001100110011001100110011001100110011001110 轉化為十進位制就是 0.30000000000000004 。驗證完成!
JavaScript 的最大安全數是如何來的
根據雙精度浮點數的構成，精度位數是 53 bit 。安全數的意思是在 -2^53 ~ 2^53 內的整數(不包括邊界)與唯一的雙精度浮點數互相對應。舉個例子比較好理解：
Math.pow(2, 53) === Math.pow(2, 53) + 1 // true 複製程式碼
Math.pow(2, 53) 竟然與 Math.pow(2, 53) + 1 相等！這是因為 Math.pow(2, 53) + 1 已經超過了尾數的精度限制(53 bit)，在這個例子中 Math.pow(2, 53) 和 Math.pow(2, 53) + 1 對應了同一個雙精度浮點數。所以 Math.pow(2, 53) 就不是安全數了。
最大的安全數為 Math.pow(2, 53) - 1 ，即 9007199254740991 。