樹狀陣列詳解
先來看幾個問題吧。
1.什麼是樹狀陣列？
顧名思義，就是用陣列來模擬樹形結構唄。那麼衍生出一個問題，為什麼不直接建樹？答案是沒必要，因為樹狀陣列能處理的問題就沒必要建樹。和Trie樹的構造方式有類似之處。
2.樹狀陣列可以解決什麼問題
可以解決大部分基於區間上的更新以及求和問題。
3.樹狀陣列和線段樹的區別在哪裡
樹狀陣列可以解決的問題都可以用線段樹解決，這兩者的區別在哪裡呢？樹狀陣列的係數要少很多，就比如字串模擬大數可以解決大數問題，也可以解決1+1的問題，但沒人會在1+1的問題上用大數模擬。
4.樹狀陣列的優點和缺點
修改和查詢的複雜度都是O(logN)，而且相比線段樹係數要少很多，比傳統陣列要快，而且容易寫。
缺點是遇到複雜的區間問題還是不能解決，功能還是有限。
一、樹狀陣列介紹
二叉樹大家一定都知道，如下圖
如果每個父親都存的是兩個兒子的值，是不是就可以解決這類區間問題了呢。是的沒錯，但是這樣的樹形結構，叫做線段樹。
那真的的樹形結構是怎樣的，和上圖類似，但省去了一些節點，以達到用陣列建樹。
黑色陣列代表原來的陣列（下面用A[i]代替），紅色結構代表我們的樹狀陣列(下面用C[i]代替)，發現沒有，每個位置只有一個方框，令每個位置存的就是子節點的值的和，則有
- C[1] = A[1];
- C[2] = A[1] + A[2];
- C[3] = A[3];
- C[4] = A[1] + A[2] + A[3] + A[4];
- C[5] = A[5];
- C[6] = A[5] + A[6];
- C[7] = A[7];
- C[8] = A[1] + A[2] + A[3] + A[4] + A[5] + A[6] + A[7] + A[8];
可以發現，這顆樹是有規律的
C[i] = A[i - 2 k +1] + A [i - 2 k +2] + ... + A[i]; //k為i的二進位制中從最低位到高位連續零的長度
例如i = 8(1000)時候，k = 3，可自行驗證。
這個怎麼實現求和呢，比如我們要找前7項和，那麼應該是 SUM = C[7] + C[6] + C[4];
而根據上面的式子，容易的出 SUM i = C[i] + C[i-2 k1 ] + C[(i - 2 k1 ) - 2 k2 ] + .....；
其實樹狀陣列就是一個二進位制上面的應用。
現在新的問題來了2^k該怎麼求呢，不難得出2^k = i&(i^(i-1));但這個還是不好求出呀，前輩的智慧就出來了，2^k = i&(-i);
為什麼呢？
這裡利用的負數的儲存特性，負數是以補碼儲存的，對於整數運算 x&(-x)有
● 當x為0時，即 0 & 0，結果為0；
●當x為奇數時，最後一個位元位為1，取反加1沒有進位，故x和-x除最後一位外前面的位正好相反，按位與結果為0。結果為1。
●當x為偶數，且為2的m次方時，x的二進位制表示中只有一位是1（從右往左的第m+1位），其右邊有m位0，故x取反加1後，從右到左第有m個0，第m+1位及其左邊全是1。這樣，x& (-x) 得到的就是x。
●當x為偶數，卻不為2的m次方的形式時，可以寫作x= y * (2^k)。其中，y的最低位為1。實際上就是把x用一個奇數左移k位來表示。這時，x的二進位制表示最右邊有k個0，從右往左第k+1位為1。當對x取反時，最右邊的k位0變成1，第k+1位變為0；再加1，最右邊的k位就又變成了0，第k+1位因為進位的關係變成了1。左邊的位因為沒有進位，正好和x原來對應的位上的值相反。二者按位與，得到：第k+1位上為1，左邊右邊都為0。結果為2^k。
總結一下：x&(-x)，當x為0時結果為0；x為奇數時，結果為1；x為偶數時，結果為x中2的最大次方的因子。
而且這個有一個專門的稱呼，叫做lowbit，即取2^k。
二、如何建立樹狀陣列
上面已經解釋瞭如何用樹狀陣列求區間和，那麼如果我們要更新某一個點的值呢，還是一樣的，上面說了 C[i] = A[i - 2 k +1] + A [i - 2 k +2] + ... + A[i] ，那麼如果我們更新某個A[i]的值，則會影響到所有包含有A[i]位置。如果求A[i]包含哪些位置裡呢，同理有
A[i] 包含於 C[i + 2 k ]、C[(i + 2 k ) + 2 k ]...；
好，現在已經搞清楚了更新和求和，就可以來建樹狀陣列了。如果上面的求和、更新或者lowbit步驟還沒搞懂的化，建議再思考弄懂再往下看。
那麼構造一個樹狀陣列則為
1 int n;
2 int a[1005],c[1005]; //對應原陣列和樹狀陣列
3
4 int lowbit(int x){
5return x&(-x);
6 }
7
8 void updata(int i,int k){//在i位置加上k
9while(i <= n){
10c[i] += k;
11i += lowbit(i);
12}
13 }
14
15 int getsum(int i){//求A[1 - i]的和
16int res = 0;
17while(i > 0){
18res += c[i];
19i -= lowbit(i);
20}
21return res;
22 }
這樣就構造了一個樹狀陣列。下面看一道模板題目吧。
題目連結： ofollow,noindex">https://vjudge.net/problem/HDU-1166
直接看程式碼吧
1 #include <bits/stdc++.h>
2 using namespace std;
3
4 int n,m;
5 int a[50005],c[50005]; //對應原陣列和樹狀陣列
6
7 int lowbit(int x){
8return x&(-x);
9 }
10
11 void updata(int i,int k){//在i位置加上k
12while(i <= n){
13c[i] += k;
14i += lowbit(i);
15}
16 }
17
18 int getsum(int i){//求A[1 - i]的和
19int res = 0;
20while(i > 0){
21res += c[i];
22i -= lowbit(i);
23}
24return res;
25 }
26
27 int main(){
28int t;
29cin>>t;
30for(int tot = 1; tot <= t; tot++){
31cout << "Case " << tot << ":" << endl;
32memset(a, 0, sizeof a);
33memset(c, 0, sizeof c);
34cin>>n;
35for(int i = 1; i <= n; i++){
36cin>>a[i];
37updata(i,a[i]);//輸入初值的時候，也相當於更新了值
38}
39
40string s;
41int x,y;
42while(cin>>s && s[0] != 'E'){
43cin>>x>>y;
44if(s[0] == 'Q'){//求和操作
45int sum = getsum(y) - getsum(x-1);//x-y區間和也就等於1-y區間和減去1-(x-1)區間和
46cout << sum << endl;
47}
48else if(s[0] == 'A'){
49updata(x,y);
50}
51else if(s[0] == 'S'){
52updata(x,-y);//減去操作，即為加上相反數
53}
54}
55
56}
57return 0;
58 }
這就是最簡單的點更新區間求和了。
三、樹狀陣列的幾種變式(區間更新，區間查詢)
上面介紹的是最普通的單點更新，區間查詢，但如果有些時候是區間更新，單點求和怎麼半，又或是區間更新，區間求和怎麼辦。這裡將介紹各種情況該怎麼寫。
如果上面的單點更新，區間查詢還沒看懂，建議再思考再往下看。
1.單點更新、單點查詢
傳統陣列可做
2.單點更新、區間查詢
已講解，詳細看上面
3.區間更新、單點查詢
這就是第一個問題，如果題目是讓你把x-y區間內的所有值全部加上k或者減去k，然後查詢操作是問某個點的值，這種時候該怎麼做呢。如果是像上面的樹狀陣列來說，就必須把x-y區間內每個值都更新，這樣的複雜度肯定是不行的，這個時候，就不能再用資料的值建樹了，這裡我們引入差分，利用差分建樹。
假設我們規定A[0] = 0;
則有 A[i] = Σ i j = 1 D[j];(D[j] = A[j] - A[j-1])， 即前面i項的差值和，這個有什麼用呢？例如對於下面這個陣列
- A[] = 1 2 3 5 6 9
- D[] = 1 1 1 2 1 3
如果我們把[2,5]區間內值加上2，則變成了
- A[] = 1 4 5 7 8 9
- D[] = 1 3 1 2 1 1
發現了沒有，當某個區間[x,y]值改變了，區間內的差值是不變的，只有D[x]和D[y+1]的值發生改變，至於為什麼我想我就不用解釋了吧。
所以我們就可以利用這個性質對D[]陣列建立樹狀陣列，程式碼為：
1 int n,m;
2 int a[50005] = {0},c[50005]; //對應原陣列和樹狀陣列
3
4 int lowbit(int x){
5return x&(-x);
6 }
7
8 void updata(int i,int k){//在i位置加上k
9while(i <= n){
10c[i] += k;
11i += lowbit(i);
12}
13 }
14
15 int getsum(int i){//求D[1 - i]的和，即A[i]值
16int res = 0;
17while(i > 0){
18res += c[i];
19i -= lowbit(i);
20}
21return res;
22 }
23
24 int main(){
25cin>>n;27for(int i = 1; i <= n; i++){
28cin>>a[i];
29updata(i,a[i] - a[i-1]);//輸入初值的時候，也相當於更新了值
31}
32
33//[x,y]區間內加上k
34updata(x,k);//A[x] - A[x-1]增加k
35updata(y+1,-k);//A[y+1] - A[y]減少k
36
37//查詢i位置的值
38int sum = getsum(i);
39
40return 0;
41 }
這樣就把，原來要更新一個區間的值變成了只需要更新兩個點。也很容易理解吧。
4.區間更新、區間查詢
上面我們說的差值建樹狀陣列，得到的是某個點的值，那如果我既要區間更新，又要區間查詢怎麼辦。這裡我們還是利用差分，由上面可知
∑ n i = 1 A[i] = ∑ n i = 1 ∑ n j = 1 D[j];
則 A[1]+A[2]+...+A[n]
= (D[1]) + (D[1]+D[2]) + ... + (D[1]+D[2]+...+D[n])
= n*D[1] + (n-1)*D[2] +... +D[n]
= n * (D[1]+D[2]+...+D[n]) - (0*D[1]+1*D[2]+...+(n-1)*D[n])
所以上式可以變為 ∑ n i = 1 A[i] = n* ∑ n i = 1 D[i] - ∑ n i = 1 ( D[i]*(i-1) );
如果你理解前面的都比較輕鬆的話，這裡也就知道要幹嘛了，維護兩個數狀陣列，sum1[i] = D[i]，sum2[i] = D[i]*(i-1);
1 int n,m;
2 int a[50005] = {0};
3 int sum1[50005];//(D[1] + D[2] + ... + D[n])
4 int sum2[50005];//(1*D[1] + 2*D[2] + ... + n*D[n])
5
6 int lowbit(int x){
7return x&(-x);
8 }
9
10 void updata(int i,int k){
11int x = i;//因為x不變，所以得先儲存i值
12while(i <= n){
13sum1[i] += k;
14sum2[i] += k * (x-1);
15i += lowbit(i);
16}
17 }
18
19 int getsum(int i){//求字首和
20int res = 0, x = i;
21while(i > 0){
22res += x * sum1[i] - sum2[i];
23i -= lowbit(i);
24}
25return res;
26 }
27
28 int main(){
29cin>>n;
30for(int i = 1; i <= n; i++){
31cin>>a[i];
32updata(i,a[i] - a[i-1]);//輸入初值的時候，也相當於更新了值
33}
34
35//[x,y]區間內加上k
36updata(x,k);//A[x] - A[x-1]增加k
37updata(y+1,-k);//A[y+1] - A[y]減少k
38
39//求[x,y]區間和
40int sum = getsum(y) - getsum(x-1);
41
42return 0;
43 }
再附贈兩道模板題目，可以自行寫一下以便理解
區間修改、單點查詢模板題目：https://www.luogu.org/problem/show?pid=3368
區間修改、區間查詢模板題目：https://vjudge.net/problem/POJ-3468
PS：這裡大致歸納了一維樹狀陣列的所有要使用到的東西，二維建樹以及更多變式就不說了，具體問題再具體分析。
後記： 自己看了一下寫的不是很好，特別是公式和圖，都是用簡單的畫圖和直接寫的，沒有用編輯器，也不能說我懶吧，畢竟精力有限啦，以後有空還是會去學的，帶給大家更好的部落格。手敲也不易，希望大家理解，多多支援。
不懂問我噢= =