使用manacher演算法解決最長迴文子串問題

要解決的問題

求一個字串最長迴文子串是什麼。且時間複雜度 O(N)

具體描述可參考：

LeetCode_5_最長迴文子串

LintCode_200_最長迴文子串

暴力解法

以每個字元為中心向左右兩邊擴，直到擴不動為止，記錄下每個字元對應能擴的範圍大小。因為有每個位置左右兩邊能擴的最大範圍，我們可以很方便還原出最長迴文子串是什麼。

比如：AB1234321CD 這個字串，以4字元為中心向左右兩邊能擴的位置最大，1234321 為最長迴文子串。

如上解法有個問題，即針對類似1ABBA2這樣的字串，如上演算法會錯過最長迴文子串ABBA, 因為ABBA不是以任何一個字串向左右兩邊擴散得到的。所以，需要預處理一下原始字串，預處理的方式如下：

在字串的每兩個位置之間插入一個特殊字元，變成一個預處理後的字串，比如我們可以以#作為特殊字元（特殊字元選哪個無所謂，不必非要是原始串中不含有的字元），將1ABBA2這個字串預處理成1#A#B#B#A#2，用預處理串來跑這個暴力解法，會得到#A#B#B#A#這個是預處理串的最長迴文子串，我們可以很方便把這個串還原成原始串的最長迴文子串。

暴力解法時間複雜度為O(N^2)。

Manacher演算法

Manacher演算法可以用O(N)時間複雜度解決這個問題。同樣的，Manacher演算法也需要對原始字串進行上述的預處理過程。

流程

考慮i, r, c三個變數之間的位置關係，無非有以下兩種情況

情況1. i在r外，比如初始狀態下：i=1, r,c = 0

情況2. i在r內或者i==r

關於情況1，流程如暴力解法一樣，以i位置為中心，左右兩邊擴到不能再擴的位置，更新pArr[i]，c, r的值。

關於情況2，我們假設i'為i關於c對稱的點，r'為r關於c對稱的點，示例圖如下：

細分如下幾種情況：

情況2-1

i'自己的迴文區域都在[r'...r]內。

例如下圖中[6...10]為i'的最長迴文區域，左邊界並未超過r'

由此可以推出，由於i位置和i'位置是關於c位置對稱的，則i位置的迴文區域至少包括[14...19]這一段，如下圖

即pArr[i']至少等於pArr[i]，接下來考慮i能否繼續擴散，即考慮19位置的值是否等於13位置的值，

我們可以假設19位置的值和13位置的值相等，同時，有如下兩個顯而易見的結論

19位置的值等於5位置的值。
13位置的值等於11位置的值。

推出5位置的值和11位置的值相等，那麼由於我們前面假設i'只能擴散到最左6位置以及最右10位置，所以，推出的結論和我們的假設矛盾，所以，19位置的值不等於13位置的值

所以情況2-1的結論是：i的最長迴文區域長度和i'的答案一樣, 即：pArr[i'] = pArr[i]

情況2-2

i'自己的迴文區域在[r'...r]外

如下圖

其中[2...14]範圍是以i'為中心的最長迴文區域。

在情況2-2下，我們可以得到如下幾個結論：

根據i和i'的關係，以i為中心，從[13...19]至少是迴文的。
根據i'的迴文區域，12位置的值等於4位置的值，以c為中心，4位置的值又等於20位置的值，所以12位置的值等於20位置的值，即以i為中心，最長迴文區域還可以擴充套件到[12...20]。
根據i'的迴文區域，13位置的值等於3位置的值，以c為中心，13位置的值又等於11位置的值，3位置的值等於21位置上的值，所以11位置的值等於21位置的值，即以i為中心，最長迴文區域還可以擴充套件到[11...21]。
繼續判斷以i為中心，是否可以繼續擴散，即要繼續判斷10位置的值是否等於22位置的值，我們假設10位置的值等於22位置的值，以c為中心，10位置的值等於14位置的值，以i'為中心，14位置的值等於2位置的值，所以10位置的值等於2位置的值，根據我們的假設，2位置的值會等於22位置的值。這個與我們的前提矛盾了，因為我們的前提是c只能擴充套件到[3...21]這個區域，即：2位置的值不可能等於22位置的值，所以我們的假設不成立，所以10位置的值不等於22位置的值。

所以，情況2-2的結論是：i到r的距離就是i的迴文半徑，即：pArr[i] = r - i + 1

情況2-3

i'自己的迴文區域左邊界和r'壓線

如下圖

其中[3...13]區域為以i'為中心能擴的最大回文區域。

有了情況2-2的鋪墊，i在情況2-3條件下至少可以擴充的範圍是[11...21], 但是接下來是否可以繼續擴充，還需要逐個判斷。

自此，所有情況考慮完畢。

由於i在遍歷過程中，始終不回退，所以，Manacher演算法時間複雜度O(N)

完整程式碼

public class LeetCode_0005_LongestPalindromicSubstring {
    public static String longestPalindrome(String s) {
        if (s == null || s.length() <= 1) {
            return s;
        }
        char[] str = s.toCharArray();
        char[] strs = manacherStr(str);
        int[] pArr = new int[strs.length];
        int c = 0;
        int r = 0;
        int i = 1;
        int len = strs.length;
        int max = 1;
        while (i < len) {
            // pArr[i] 至少不需要擴的大小
            pArr[i] = i < r ? Math.min(r - i, pArr[c - (i - c)]) : 1;
            // 暴力擴
            while (i + pArr[i] < len && i - pArr[i] >= 0) {
                if (strs[i + pArr[i]] == strs[i - pArr[i]]) {
                    pArr[i]++;
                } else {
                    break;
                }
            }
            // 擴散的位置能否更新迴文有邊界R
            // 如果可以更新，則更新R，且把C置於當前的i，因為是當前的i讓迴文右邊界擴散的
            if (i + pArr[i] > r) {
                r = i + pArr[i];
                c = i;
            }
            max = Math.max(pArr[i++], max);
        }
        // 定位最大回文有邊界的迴文中心是哪個
        int n = 0;
        for (; n < len; n++) {
            if (pArr[n] == max) {
                break;
            }
        }
        // 構造最大回文子串
        StringBuilder sb = new StringBuilder();
        for (i = n - max + 2; i < n + max; i += 2) {
            sb.append(strs[i]);
        }
        return sb.toString();
    }
    public static char[] manacherStr(char[] str) {
        char[] strs = new char[str.length << 1 | 1];
        for (int i = 0; i < strs.length; i++) {
            strs[i] = ((i & 1) == 1) ? str[i >> 1] : '#';
        }
        return strs;
    }
}

使用manacher演算法解決最長迴文子串問題