「題解」黑暗塔 wizard

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題目

題意簡述

給定 \(y\)，求 \(\varphi(x)=y\) 中 \(x\) 的個數和最大值。

\(1\leq y\leq 10^{12}\)。

題解

尤拉函式

解決這個問題，就必然要知道尤拉函式的計算式是什麼。

顯然，尤拉函式的計算式子為：

我們不難想到，若 \((p_i-1)\mid y\)，那麼 \(x\) 可能含有 \(p_i\) 這個質因數，我們直接搜尋即可。

複雜度證明

冷靜分析，我們不難發現，最劣情況下，一個數 \(y\) 滿足 \(x\) 含有 \(p_i\)，則 \((p_i-1)p_i\mid y\)，因此本質不同的質因子個數最多有 \(11\) 個，我們參考反素數的貪心分析，不難寫出搜尋程式找到最劣情況，發現搜尋狀態數不多（數量級在 \(10^6\)）。

時間複雜度得到了保證。

拓展閱讀

個數：A014197。

最大值：A057635。

參考程式

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define reg register

typedef long long ll;

bool st;

inline ll max(reg ll a,reg ll b){

	return a>b?a:b;

}

const int S=1e6;

bool vis[S+1];

int tot,prime[S+1];

inline void Init(reg int n){

	for(reg int i=2;i<=n;++i){

		if(!vis[i])

			prime[++tot]=i;

		for(reg int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=n;++j){

			vis[i*prime[j]]=true;

			if(!(i%prime[j]))

				break;

		}

	}

	return;

}

inline bool isPrime(reg ll x){

	if(x<=S)

		return !vis[x];

	else{

		for(reg int i=1;i<=tot&&1ll*prime[i]*prime[i]<=x;++i)

			if(!(x%prime[i]))

				return false;

		return true;

	}

}

int cnt;

ll Max;

vector<ll> V;

inline void dfs(reg ll y,reg int p,reg ll pod){

	if(y==1){

		++cnt;

		Max=max(Max,pod);

		return;

	}

	if(y+1>V[p]&&isPrime(y+1))

		++cnt,Max=max(Max,pod*(y+1));

	for(reg int i=p+1,siz=V.size();i<siz&&1ll*(V[i]-1)*(V[i]-1)<=y;++i)

		if(!(y%(V[i]-1))){

			reg ll ny=y/(V[i]-1),npod=pod*V[i];

			dfs(ny,i,npod);

			while(!(ny%V[i]))

				ny/=V[i],npod*=V[i],dfs(ny,i,npod);

		}

	return;

}

bool ed;

int main(void){

	Init(S);

	int t;

	scanf("%d",&t);

	while(t--){

		ll y;

		scanf("%lld",&y);

		V.clear();

		V.push_back(2);

		for(reg int i=2;i<=tot;++i)

			if(!(y%(prime[i]-1)))

				V.push_back(prime[i]);

		cnt=Max=0;

		dfs(y,0,1),dfs(y,0,2);

		reg ll bas=2;

		while(!(y&1))

			y>>=1,bas<<=1,dfs(y,0,bas);

		printf("%d %lld\n",cnt,Max);

	}

	fprintf(stderr,"%.3lf s\n",1.0*clock()/CLOCKS_PER_SEC);

	fprintf(stderr,"%.3lf MiB\n",(&ed-&st)/1048576.0);

	return 0;

}