BGV方案

SIMD技術

中國剩餘定理

在《孫子算經》中有這樣一個問題：“今有物不知其數，三三數之剩二（除以3餘2），五五數之剩三（除以5餘3），七七數之剩二（除以7餘2），問物幾何？”這個問題稱為“孫子問題”，該問題的一般解法國際上稱為“中國剩餘定理”。

簡單點說就是求x，使其滿足：

我們的主要求解方法分為三步：

找出三個數：從3和5的公倍數中找出被7除餘1的最小數15，從3和7的公倍數中找出被5除餘1 的最小數21，最後從5和7的公倍數中找出除3餘1的最小數70。
用15乘以2（2為最終結果除以7的餘數），用21乘以3（3為最終結果除以5的餘數），同理，用70乘以2（2為最終結果除以3的餘數），然後把三個乘積相加（15*2+21*3+70*2）得到和233。
用233除以3，5，7三個數的最小公倍數105，得到餘數23，即233%105=23。這個餘數23就是符合條件的最小數。

演算法分析

我們將“孫子問題”拆分成幾個簡單的小問題，從零開始，試圖揣測古人是如何推匯出這個解法的。

首先，我們假設n1是滿足除以3餘2的一個數，比如2，5，8等等，也就是滿足3*k+2（k>=0）的一個任意數。同樣，我們假設n2是滿足除以5餘3的一個數，n3是滿足除以7餘2的一個數。

有了前面的假設，我們先從n1這個角度出發，已知n1滿足除以3餘2，能不能使得 n1+n2 的和仍然滿足除以3餘2？進而使得n1+n2+n3的和仍然滿足除以3餘2？

這就牽涉到一個最基本數學定理，如果有a%b=c,則有(a+kb)%b=c(k為非零整數)，換句話說，如果一個除法運算的餘數為c，那麼被除數與k倍的除數相加（或相減）的和（差）再與除數相除，餘數不變。這個是很好證明的。

以此定理為依據，如果n2是3的倍數，n1+n2就依然滿足除以3餘2。同理，如果n3也是3的倍數，那麼n1+n2+n3的和就滿足除以3餘2。這是從n1的角度考慮的，再從n2，n3的角度出發，我們可推匯出以下三點：

為使n1+n2+n3的和滿足除以3餘2，n2和n3必須是3的倍數。
為使n1+n2+n3的和滿足除以5餘3，n1和n3必須是5的倍數。
為使n1+n2+n3的和滿足除以7餘2，n1和n2必須是7的倍數。

因此，為使n1+n2+n3的和作為“孫子問題”的一個最終解，需滿足：

n1除以3餘2，且是5和7的公倍數。
n2除以5餘3，且是3和7的公倍數。
n3除以7餘2，且是3和5的公倍數。

所以，孫子問題解法的本質是從5和7的公倍數中找一個除以3餘2的數n1，從3和7的公倍數中找一個除以5餘3的數n2，從3和5的公倍數中找一個除以7餘2的數n3，再將三個數相加得到解。在求n1，n2，n3時又用了一個小技巧，以n1為例，並非從5和7的公倍數中直接找一個除以3餘2的數，而是先找一個除以3餘1的數，再乘以2。

這裡又有一個數學公式，如果a%b=c，那麼（a*k）%b=a%b+a%b+…+a%b=c+c+…+c=kc（k>0）,也就是說，如果一個除法的餘數為c，那麼被除數的k倍與除數相除的餘數為kc。展開式中已證明。

最後，我們還要清楚一點，n1+n2+n3只是問題的一個解，並不是最小的解。如何得到最小解？我們只需要從中最大限度的減掉3，5，7的公倍數105即可。道理就是前面講過的定理“如果a%b=c,則有(a-kb)%b=c”。所以（n1+n2+n3）%105就是最終的最小解。

總結

經過分析發現，中國剩餘定理的孫子解法就是以下兩個基本數學定理的靈活運用：

如果 a%b=c , 則有 (a+kb)%b=c (k為非零整數)。
如果 a%b=c，那麼 (a*k)%b=kc (k為大於零的整數)。

擴充套件演算法

設正整數兩兩互素，則同餘方程組

有整數解。並且在模下的解是唯一的，解為

其中，而為模的逆元。

程式碼：

int CRT(int a[],int m[],int n)

{

    int M = 1;

    int ans = 0;

    for(int i=1; i<=n; i++)

        M *= m[i];

    for(int i=1; i<=n; i++)

    {

        int x, y;

        int Mi = M / m[i];

        extend_Euclid(Mi, m[i], x, y);

        ans = (ans + Mi * x * a[i]) % M;

    }

    if(ans < 0) ans += M;

    return ans;

}

多項式中國剩餘定理

求乘法逆元

有兩種方法：

1、費馬小定理

該方法速度非常快

求逆元程式碼：

#include <stdio.h>

#include <math.h>

int main()

{

	int m, n, x;

    puts("          基於費馬定理求逆元\n");

    puts("       對m * x = 1 mod n，求x\n");

    printf("請輸入m=");

    scanf("%d", &m);

    printf("請輸入n=");

    scanf("%d", &n);

	x = (int)pow(m, n - 2) % n;

	printf("x=%d\n", x);

	system("pause");

	return 0;

}

2、擴充套件歐幾里得

擴充套件歐幾里得演算法實現：

#include<iostream>

using namespace std;

//遞迴求解

int exgcd(int a, int b, int& x, int& y)

{

    if (b == 0)

    {

        x = 1;

        y = 0;

        return a;

    }

    int gcd = exgcd(b, a % b, x, y);

    int x2 = x, y2 = y;

    x = y2;

    y = x2 - (a / b) * y2;

    return gcd;

}

//非遞迴求解

int exgcd01(int a, int b, int& x, int& y)

{

    int x1, y1, x0, y0;

    x0 = 1; y0 = 0;

    x1 = 0; y1 = 1;

    x = 0; y = 1;

    int r = a % b;

    int q = (a - r) / b;

    while (r)

    {

        x = x0 - q * x1; y = y0 - q * y1;

        x0 = x1; y0 = y1;

        x1 = x; y1 = y;

        a = b; b = r; r = a % b;

        q = (a - r) / b;

    }

    return b;

}

int main()

{

    int x, y, a, b,option;

    cout << "擴充套件歐幾里得演算法" << endl;

    cout << endl << "請選擇：1、遞迴求解；2、非遞迴求解" << endl;

    cin >> option;

    if (option == 1)

    {

        cout << "請輸入a和b:" << endl;

        cin >> a >> b;

        cout << "a和b的最大公約數:" << endl;

        cout << exgcd(a, b, x, y) << endl;

        cout << "ax+by=gcd(a,b) 的一組解是:" << endl;

        cout << x << " " << y << endl;

    }

    else if (option == 2)

    {

        cout << "請輸入a和b:" << endl;

        cin >> a >> b;

        cout << "a和b的最大公約數:" << endl;

        cout << exgcd01(a, b, x, y) << endl;

        cout << "ax+by=gcd(a,b) 的一組解是:" << endl;

        cout << x << " " << y << endl;

    }

    else

        cout << "請重新輸入！" << endl;

    return 0;

}