傳染病的數學模型是數學建模中的典型問題，常見的傳染病模型有 SI、SIR、SIRS、SEIR 模型。

SEIR 模型考慮存在易感者、暴露者、患病者和康復者四類人群，適用於具有潛伏期、治癒後獲得終身免疫的傳染病。

本文詳細給出了幾種改進 SEIR 模型微分方程的思路、建模、例程和結果，讓小白學會模型分析與改進。

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Python小白的數學建模課-B2.新冠疫情 SI模型

Python小白的數學建模課-B3.新冠疫情 SIS模型

Python小白的數學建模課-B4.新冠疫情 SIR模型

Python小白的數學建模課-B5.新冠疫情 SEIR模型

Python小白的數學建模課-B6.改進 SEIR疫情模型

1. SEIR 基本模型

1.1 SEIR 模型的結構

SEIR 模型考慮存在易感者（Susceptible）、暴露者（Exposed）、患病者（Infectious）和康復者（Recovered）四類人群，適用於具有潛伏期、治癒後獲得終身免疫的傳染病。易感者（S 類）被感染後成為潛伏者（E類），隨後發病成為患病者（I 類），治癒後成為康復者（R類）。這種情況更為複雜，也更為接近實際情況。

SEIR 模型的倉室結構示意圖如下：

1.2 SEIR 模型的假設

  1. 考察地區的總人數 N 不變，即不考慮生死或遷移；

  2. 人群分為易感者（S 類）、暴露者（E 類）、患病者（I 類）和康復者（R 類）四類；

  3. 易感者（S 類）與患病者（I 類）有效接觸即變為暴露者（E 類），暴露者（E 類）經過平均潛伏期後成為患病者（I 類）；患病者（I 類）可被治癒，治癒後變為康復者（R 類）；康復者（R類）獲得終身免疫不再易感；

  4. 將第 t 天時 S 類、E 類、I 類、R 類人群的佔比記為 \(s(t)\)、\(e(t)\)、\(i(t)\)、\(r(t)\)，數量分別為 \(S(t)\)、\(E(t)\)、\(I(t)\)、\(R(t)\)；初始日期 \(t=0\) 時，各類人群佔比的初值為 \(s_0\)、\(e_0\)、\(i_0\)、\(r_0\)；

  5. 日接觸數 \(\lambda\)，每個患病者每天有效接觸的易感者的平均人數；

  6. 日發病率 \(\delta\)，每天發病成為患病者的暴露者佔暴露者總數的比例；

  7. 日治癒率 \(\mu\)，每天被治癒的患病者人數佔患病者總數的比例，即平均治癒天數為 \(1/\mu\)；

  8. 傳染期接觸數 \(\sigma = \lambda / \mu\)，即每個患病者在整個傳染期內有效接觸的易感者人數。

1.3 SEIR 模型的微分方程

\[\begin{cases}
\begin{align*}
& \frac{ds}{dt} = -\lambda s i, &s(0)=s_0\\
& \frac{de}{dt} = \lambda s i - \delta e, &e(0)=e_0\\
& \frac{di}{dt} = \delta e - \mu i, &i(0)=i_0
\end{align*}
\end{cases}
\]

2. 基於 SEIR 模型研究新冠疫情

2.1 基於 SEIR 模型的新冠疫情研究論文

2019年12月，武漢市出現新冠疫情（COVID-19）病例；2020年初，新冠疫情（COVID-19）在中國迅速蔓延。隨著嚴格的防疫措施，新冠疫情在中國總體被基本抑制；之後雖然在國內部分地區有零星散發，但均較快得到控制，這都得益於疫情早期的防控。

因此，在疫情暴發早期迅速採取有效的防控措施，對於新冠疫情的防控具有重要作用。對疫情暴發與衰退進行精準預測，對防控措施的效果進行定量分析，為研判疫情傳播發展態勢、科學實施疫情防控，積極穩妥恢復日常工作和生活，具有重要的理論意義和現實意義 。

國內外學者開展了大量的疫情傳播和疫情防控的研究，這些研究主要是基於 SEIR 模型，並根據新冠疫情的病理特徵及傳播特點，對模型進行各種改進，使模型與實際情況更加吻合，以便更準確地預測疫情發展趨勢 。

2020年1月，英國 Jonathan 等估計武漢市 2月4日感染病例將達到 19萬例，高估了疫情發展態勢。2020年1月，西安交通大學 Shen 等估計新冠疫情的基本再生數，預測最終感染人數在 2萬人以內，明顯低於公佈的疫情資料。2020年1月31日，香港學者 Wu 等推測 1月25日感染人數超過6000，高於25日公佈的確診人數 1985例。

2020年 3月，鍾南山院士團隊在《Journal of thoracic disease》發表論文 “Modified SEIR and AI prediction of the epidemics trend of COVID-19 in China under public health interventions（ 基於改進 SEIR 和 AI 模型對公共衛生干預下的 COVID-19 暴發趨勢預測）“，採用改進的 SEIR 模型來預測新冠疫情的發展。

該文結合 2020年 1月23日前後的人口遷移資料及最新的 COVID-19 流行病學資料，對 SEIR 模型引數進行估計和校正，由此預測疫情發展的走勢，與實際報告資料的吻合度較高。

基於該模型的研究認為，按照目前的干預措施疫情將在 2月28日達到峰值，4月底逐漸平緩，最終感染人數將達到 122,122 （89741～156794）人；如果幹預措施能提早 5天，感染人數將減少 2/3 ，估計僅 40,991人；但如果幹預措施推遲 5天，預計疫情規模將增加 3倍，感染人數會達到 351,874人。

該文指出，如果繼續嚴格的管控政策，提高診斷水平，推出使用藥物，疫情規模將得到極大控制；如果立即在湖北省解除隔離，將在 3月中旬出現第二次疫情高峰，並使疫情延至 4月底，因此建議繼續採取有力措施進行防控。

該文是 2月27日投稿，文中資料基於2月9日（當時國內確診35,982例）。4月30日國內公佈累計確診 84,385例，疫情得到有效控制，都在本文的預測範圍之內。

2020年 2月，中山大學胡延慶團隊在《科學通報》發表論文 “新型冠狀病毒傳播的數學模型與預測”，採用分階段滾動 SEIR 模型對防控措施的效果進行分析，通過新冠疫情資料估算自然基本再生數為 2.57，對疫情發展趨勢進行了預測，預計最終全國除湖北省以外的累計感染人數近 14000（到2020年底實際為 18922），除武漢市以外的累計感染人數近 32000（到2020年底實際為 36717）。

2020年 2月，西安交通大學呂軍團隊論文 “基於 SEIR模型分析相關干預措施在新型冠狀病毒肺炎疫情中的作用”，對 SEIR模型加入潛伏期傳染率、感染人群變化率等引數，通過新冠疫情資料估算基本再生數為 2.4～2.7。基於模型分析防控手段的有效性，模型顯示基於嚴格限制出行的隔離措施能夠減緩疫情發展的趨勢，使潛伏和感染人群的峰值分別降低 45. 7%、29. 9%。因此，疫情一旦暴發應及時採取相應等級的應急響應措施，及時出臺強力的管控舉措，及早限制出行、居家隔離、提示及強制出行戴口罩等防護措施切斷病毒傳染途徑，大幅度減少潛伏和感染人群與易感人群的接觸人數，以減緩疫情發展及減少疫情峰值發病人數。

此外，深圳大學林俊鋒的論文 “基於引入隱形傳播者的 SEIR 模型的 COVID-19 疫情分析和預測”，考慮未監測、未隔離的病毒攜帶者，在 SEIR 模型中引入隱形傳播者（Undiscovered），提高了 SEIR 模型的精度。

中南大學李東傑團隊的論文“基於改進傳染病動力學易感-暴露-感染-恢復模型 (SEIR) 預測新型冠狀病毒肺炎疫情”，基於 SEIR 模型並通過易感人群減少率來反映政府管控措施的效果。

長安大學董是等的論文“基於系統動力學模型的 2019冠狀病毒病早期防控機制研究”，以廣義 SEIR 模型為基礎，引入易感人群、不易感人群、暴露人群（已感染但尚不具有傳染性，處於潛伏狀態）、感染人群（具有傳染性，尚未隔離）、隔離人群（已感染和確診）、恢復人群和死亡人群 7個不同狀態，以中國、美國、英國、澳大利亞、塞爾維亞和義大利的疫情暴發早期資料對模型引數進行擬合。在此基礎上對嚴格集中管控模式和有限防控模式進行對比分析，認為在疫情暴發的早期，提高保護率、降低感染率，縮短檢疫時間，採取嚴格的隔離政策可以有效抑制疫情的傳播與擴散。

本文附錄參考文獻中給出了一些使用 SEIR 及其改進模型進行新冠疫情研究的論文。

2.2 針對新冠疫情的 SEIR 模型改進

分析和總結這些基於 SEIR 模型研究新冠疫情的論文，主要有三個方面的內容：一是對 SEIR 模型的改進，二是對模型引數的估計，三是對疫情傳播和防控措施的預測。這也是傳染病動力學模型進行疫情傳播研究的基本路徑。本節主要討論 SEIR 模型d 改進。

SEIR 模型的假設比 SI、SIS、SIR 模型更加複雜，也更符合實際情況，因而模型結果往往也與實際資料更為接近。但即便如此，相對於特定傳染病、實際疫情的具體情況，SEIR 模型的基本假設仍然存在問題與不足。

發現特定傳染病和實際疫情的具體情況，在 SEIR 模型的基礎上，考慮新的因素，就可以對 SEIR 模型進行改進。大體來說，對於 SEIR 模型的改進主要有以下幾個方面：

一是對於模型結構的改進，主要是對人群型別的細分。

SIR 模型較 SI 模型增加了康復者（R類），SEIR 模型較 SIR模型增加了潛伏者（E類）。類似地，結合新冠疫情傳播和防控的特徵，可以而且需要對人群進行進一步的細分。

“早發現、早診斷、早隔離、早治療”是新冠疫情防控的關鍵措施。儘早發現患病者和尚未發病的潛伏者，對其進行隔離，可以大幅降低日接觸數、傳染期接觸數。因此，潛伏者處於檢出後的隔離狀態還是未檢出的正常活動狀態，對於疫情傳播的影響是具有本質差異的，由此可以在 SEIR模型中引入“隱形傳播者（Undiscovered）”。

進一步地，可以考慮增加隔離易感者、隔離接觸者、住院患者，並考察不同人群之間的動力學關係。

新冠疫情患病者有一定的病死率，可以考慮增加病死者人群（Death），根據病死率資料建立患病者與病死者的動力學關係。

又如，考慮不同人群對病毒的抵抗力不同，因而被感染的概率不同，可以細分嬰兒、老人人群，對其設定較高的接觸感染率；考慮不同人群病死率的不同，可以對具有基礎病的患者設定較高的病死率。

由此可見，只要認真分析新冠疫情發病機制的特徵，分析所考察區域和階段的特點，就可以發現區別於 SEIR 的特徵人群，進而提出新的細分人群，從而對 SEIR 模型進行改進。當然，有些細分人群對於結果影響並不大，或者很難找到該細分人群與其它人群的動力學關係，所以並不是說人群分的越多越好。

二是對疫情傳播特徵的改進，就是給微分方程表示式增加修正項。

SEIR 模型是單向模型，是對實際問題的簡化，便於分析和求解。考慮新冠疫情發病機制和傳播特點，可以對各類人群之間的傳播特性進行更科學、更細緻的研究。

例如，新冠疫情的重要病理特徵是在潛伏期具有傳染性，發病後 5天內傳染性較強。實際上，隨著疫情發展，患病者基本被收治隔離，日接觸數極低，這時疫情主要是通過潛伏者與易感者的接觸傳播的。針對這一特徵，SEIR 模型中僅考慮易感者與患病者接觸後感染顯然是重大的缺陷，需要考慮易感者與潛伏者接觸後感染的影響。

又如，新冠疫情中發現患病治癒者具有免疫期，不是終身免疫，因此可以增加康復者向易感者轉變的連線路徑；疫情中發現一些潛伏者（暴露者）不一定都轉變為患病者，而是也可能回到易感者，因此可以增加潛伏者人群返回易感者人群的連線路徑。鍾南山團隊論文，就是在 SEIR 模型基礎上，基於進行隔離與解除隔離的資料而增加了易感者與潛伏者的雙向轉換路徑。

微分方程的表示式是各類人群之間動力學關係的反映，是對倉室模型中各類人群相互聯絡和轉換特徵的數學描述。基於改進模型提出各類人群之間新的轉換關係，就是在微分方程表示式中增加一個修正項，來描述兩個倉室之間的動力學關係。後文將對此案例進行具體分析。

三是對基本假設的完善，就是補充或修正原有的假設。

模型的基本假設都是對實際問題的抽象和簡化。至於簡化是否合理，就是仁者見仁智者見智的事情了。一般來說，經典模型、基本模型都是對普遍問題的抽象，結合具體實際問題的特點來考慮就顯得不盡合理、完善，因此可以進行補充或修正。

例如，基本假設考察地區的總人數 N 不變，即不考慮生死或人口流動 。對於嚴重的、長期的疫情，也可以生死的影響。而疫情發生後人口流動幾乎是必然的，也是疫情傳播的主要途徑，疫情防控的主要措施。因此，結合交通流大資料，考慮人流遷移的影響，是研究疫情傳播重要內容。

又如，SEIR 模型中對日接觸數、日發病率、日治癒率設定為常數，考慮新冠疫情的具體情況，這些引數可以是分段的（不同人群、不同階段），可以是時變的，也可以是某種函式。

最後，需要指出的是，針對新冠疫情而對 SEIR 模型的改進，有的是非常重要並對結果產生重大影響的，例如潛伏期的傳染性、對密切接觸者的隔離、人員流動的影響；有的則不會有多大影響，反而使模型更為複雜，只能說也是一種探索和嘗試吧。

但是，從數學建模和數模競賽的角度來看，我們是一個練習而不是研究，只要仔細觀察、認真思考，就能對人群更加細分，對某種傳播特性給出數學描述，從而提出自己的“改進的 SEIR模型“。再與現有 SEIR 模型做一些比較，與實際資料做一些比對，就很容易寫出一篇“較高水平”的數模論文。

說白了，這就是為了改進而改進。但對於小白來說，還是很有價值的訓練。

3. 考慮潛伏期傳染性的 SEIR 改進模型

3.1 改進模型的假設和微分方程

考慮新冠疫情在潛伏期具有傳染性，易感者（S 類）除了與患病者（I 類）有效接觸而被感染，與潛伏者（E類）有效接觸也有可能被感染而轉變為潛伏者（E類）。

對 SEIR 模型增加假設：

  1. 潛伏者日接觸數 \(\lambda_2\)，每個潛伏者每天有效接觸的易感者的平均人數。

可以建立如下微分方程：

\[\begin{align}
& N \frac{ds}{dt} = - N \lambda s i - N \lambda_2 s e\\
& N \frac{de}{dt} = N \lambda s i + N \lambda_2 s e - N \delta e\\
& N \frac{di}{dt} = N \delta e - N \mu i\\
& N \frac{dr}{dt} = N \mu i\\
\end{align}
\]

得：

\[\begin{cases}
\begin{align*}
& \frac{ds}{dt} = -\lambda s i - \lambda_2 s e, &s(0)=s_0\\
& \frac{de}{dt} = \lambda s i + \lambda_2 s e - \delta e, &e(0)=e_0\\
& \frac{di}{dt} = \delta e - \mu i, &i(0)=i_0
\end{align*}
\end{cases}
\]

3.2 odeint() 求解 SEIR 模型的程式設計步驟

  1. 匯入 scipy、numpy、matplotlib 包。
  2. 定義導數函式 \(f(y,t)\)。改進模型只是在 SEIR 模型微分方程中增加了一個修正項，具體程式設計並沒有很大區別，以下給出例程以供對比。

SEIR 模型的微分方程導數函式

def dySEIR(y, t, lamda, delta, mu):  # SEIR 模型，導數函式

    s, e, i = y

    ds_dt = - lamda*s*i  # ds/dt = -lamda*s*i

    de_dt = lamda*s*i - delta*e  # de/dt = lamda*s*i - delta*e

    di_dt = delta*e - mu*i  # di/dt = delta*e - mu*i

    return np.array([ds_dt,de_dt,di_dt])

SEIR 改進模型的微分方程導數函式

def dySEIR2(y, t, lamda, lam2, delta, mu):  # SEIR2 模型，導數函式

    s, e, i = y

    ds_dt = - lamda*s*i - lam2*s*e # ds/dt = -lamda*s*i - lam2*s*e

    de_dt = lamda*s*i + lam2*s*e - delta*e  # de/dt = lamda*s*i - delta*e

    di_dt = delta*e - mu*i  # di/dt = delta*e - mu*i

    return np.array([ds_dt,de_dt,di_dt])

Python 可以直接對向量、向量函式進行定義和賦值，使程式更為簡潔。但考慮讀者主要是 Python 小白，又涉及到看著就心煩的微分方程組，所以我們寧願把程式寫得累贅一些，便於讀者將程式與前面的微分方程組逐項對應。

  1. 定義初值 \(y_0\) 和 \(y\) 的定義區間 \([t_0,\ t]\)，注意初值為陣列向量 \(y_0=[s_0,e_0,i_0]\)。
  2. 呼叫 odeint() 求 \(y\) 在定義區間 \([t_0,\ t]\) 的數值解。

3.3 Python 例程：考慮潛伏期傳染性的 SEIR 改進模型

# modelCovid5_v1.py

# Demo01 of mathematical modeling for Covid2019

# Improved SEIR model for epidemic diseases (改進的 SEIR 模型)

# Copyright 2021 Youcans, XUPT

# Crated：2021-06-16

# Python小白的數學建模課 @ Youcans

# 1. SEIR2 模型，考慮潛伏期具有傳染性

from scipy.integrate import odeint  # 匯入 scipy.integrate 模組

import numpy as np  # 匯入 numpy包

import matplotlib.pyplot as plt  # 匯入 matplotlib包

def dySEIR(y, t, lamda, delta, mu):  # SEIR 模型，導數函式

    s, e, i = y

    ds_dt = - lamda*s*i  # ds/dt = -lamda*s*i

    de_dt = lamda*s*i - delta*e  # de/dt = lamda*s*i - delta*e

    di_dt = delta*e - mu*i  # di/dt = delta*e - mu*i

    return np.array([ds_dt,de_dt,di_dt])

def dySEIR2(y, t, lamda, lam2, delta, mu):  # SEIR2 模型，導數函式

    s, e, i = y

    ds_dt = - lamda*s*i - lam2*s*e # ds/dt = -lamda*s*i - lam2*s*e

    de_dt = lamda*s*i + lam2*s*e - delta*e  # de/dt = lamda*s*i - delta*e

    di_dt = delta*e - mu*i  # di/dt = delta*e - mu*i

    return np.array([ds_dt,de_dt,di_dt])

# 設定模型引數

number = 1e5  # 總人數

lamda = 1.0  # 日接觸率, 患病者每天有效接觸的易感者的平均人數

lam2 = 0.25  # 日接觸率2, 潛伏者每天有效接觸的易感者的平均人數

delta = 0.05  # 日發病率，每天發病成為患病者的潛伏者佔潛伏者總數的比例

mu = 0.05  # 日治癒率, 每天治癒的患病者人數佔患病者總數的比例

sigma = lamda / mu  # 傳染期接觸數

fsig = 1-1/sigma

tEnd = 200  # 預測日期長度

t = np.arange(0.0, tEnd, 1)  # (start,stop,step)

i0 = 1e-3  # 患病者比例的初值

e0 = 0  # 潛伏者比例的初值

s0 = 1-i0  # 易感者比例的初值

Y0 = (s0, e0, i0)  # 微分方程組的初值

# odeint 數值解，求解微分方程初值問題

ySEIR = odeint(dySEIR, Y0, t, args=(lamda,delta,mu))  # SEIR 模型

ySEIR2 = odeint(dySEIR2, Y0, t, args=(lamda,lam2,delta,mu))  # SEIR2 模型

# 輸出繪圖

print("lamda={}\tmu={}\tsigma={}\t(1-1/sig)={}".format(lamda,mu,sigma,fsig))

plt.title("Comparison between SEIR and improved SEIR model")

plt.xlabel('t-youcans')

plt.axis([0, tEnd, -0.1, 1.1])

plt.plot(t, ySEIR2[:,0], '-g', label='s(t)-iSEIR')  # 易感者比例

plt.plot(t, ySEIR2[:,1], '-b', label='e(t)-iSEIR')  # 潛伏者比例

plt.plot(t, ySEIR2[:,2], '-m', label='i(t)-iSEIR')  # 患病者比例

# plt.plot(t, 1-ySEIR2[:,0]-ySEIR2[:,1]-ySEIR2[:,2], '-b', label='r(t)-iSEIR')

plt.plot(t, ySEIR[:,0], '--g', label='s(t)-SEIR')

plt.plot(t, ySEIR[:,1], '--b', label='e(t)-SEIR')

plt.plot(t, ySEIR[:,2], '--m', label='i(t)-SEIR')

# plt.plot(t, 1-ySEIR[:,0]-ySEIR[:,1]-ySEIR[:,2], '--m', label='r(t)-SEIR')

plt.legend(loc='upper right')  # youcans

plt.show()

3.4 SEIR 改進模型的結果

上圖是對 SEIR 改進模型與 SEIR模型結果的比較，圖中實線為 SEIR 改進模型、虛線為 SEIR 模型，不同顏色分別表示易感者比例 s(t)、潛伏者比例 e(t) 和患病者比例 i(t)。

圖中，SEIR 改進模型潛伏者比例 e(t)、患病者比例 i(t) 出現的峰值比 SEIR 模型更早、更強，易感者比例 s(t) 降低的更快，但最終也都趨於穩定。這是由於 SEIR 改進模型假設潛伏者在潛伏期的日接觸數 \(\lambda_2\)，相當於在總體上增大了日接觸數。因此SEIR 改進模型的結果，與在 SEIR 模型中增大日接觸率 \(\lambda\) 的情況是類似的，可以參見《B5-SEIR疫情模型》中的圖3.2。

4. 基於 SEIR 改進模型的防控措施分析

4.1 對患病者實施隔離措施的影響

上圖中 SEIR 改進模型與 SEIR 模型的結果雖然有差別，但差別並不大。如果增大 SEIR 模型中的日接觸率 \(\lambda\) ，也能得到類似的結果。換個角度看，如果用實際疫情資料來擬合模型引數，SEIR 模型也能達到很好地擬合，只是在估計的日接觸率引數中反映了潛伏者的日接觸數的影響。

但如果考慮對患病者進行隔離的防控措施，則情況將會出現很大變化。假設對患病者進行有效隔離——這是最基本、最普遍的傳染病防控措施，使患病者的日接觸率 \(\lambda\) 降低到未隔離時的20%，而潛伏者在潛伏期的日接觸數 \(\lambda_2\)不變。

上圖是對 SEIR 改進模型與 SEIR模型結果的比較，所用的模型和程式與上圖相同，只是考慮對患病者進行有效隔離而將患病者的日接觸率 \(\lambda\) 從 1.0 降低為 0.2。

此時，改進 SEIR 模型與 SEIR 模型的差異較上圖顯著增大。因為患病者的有效傳染數由於隔離而大幅降低，SEIR模型中的疫情大為緩解。如果考慮實際上患病者隔離前後的日接觸率的差異更大，採用更小的日接觸率 \(\lambda\) ，則疫情很容易受到控制。

但是，在 SEIR 改進模型中，雖然患病者的有效傳染數也由於隔離而降低，但潛伏者的有效傳染數未受控制而不變，因此疫情較上圖（患病者未隔離）雖有推遲和減輕，但仍然非常嚴重。

以上的分析說明：一方面，對於潛伏期具有傳染性的傳染病，必須使用 SEIR改進模型，考慮潛伏者的日接觸數，才能更真實地反映疫情傳播特點；另一方面，在疫情防控中，不僅要及時對患病者採取隔離措施，也要對潛伏者採取隔離措施，才能控制疫情，這就要求對潛伏者"早發現、早診斷、早隔離"。

4.2 對潛伏者實施隔離措施的影響

對潛伏者採取隔離措施，就要求對潛伏者"早發現、早診斷、早隔離"。用考慮潛伏期傳染性的 SEIR 改進模型對發現和隔離潛伏者的防控措施的效果進行模擬研究。

比較以下三種情況：（1）未採取防控措施，\(\lambda=1.0，\lambda2=0.25\)；（2）對患病者採取隔離措施，但未對潛伏者採取隔離措施，\(\lambda=0.2，\lambda2=0.25\)；（3）對患病者、潛伏者都採取隔離措施， \(\lambda=0.2，\lambda2=0.1\)。

上圖是採用考慮潛伏期傳染性的 SEIR 改進模型對 3 種情況下疫情傳播的模擬結果，圖中實線、虛線和點劃線分別表示第 1、2、3 種情況，不同顏色不同顏色分別表示易感者、潛伏者和患病者的比例。

如 4.1 中的分析，對患病者採取隔離措施使患病者日接觸數減小（虛線），疫情較未隔離患病者（實線）時有所減輕，潛伏者、患病者比例的波峰的開始時間、峰值時間推後，峰值高度降低，但疫情仍然很嚴重。

進一步對潛伏者也採取隔離措施使潛伏者日接觸數減小（點劃線），疫情較未隔離潛伏者時顯著減弱，潛伏者、患病者比例的波峰的開始時間、峰值時間顯著推遲，峰值高度降低，說明發現和隔離潛伏者的措施對疫情控制是有效和必要的。

5. 總結

  • 改進模型通常是針對特定傳染病和實際疫情的具體情況，在基本模型的基礎上考慮新的因素，使模型的假設更符合實際情況，模型的結果能接近實際資料，才能更準確地預測疫情發展趨勢、分析防控措施的影響。
  • 結合新冠疫情對 SEIR 模型改進的主要方向是：對人群型別的細分；對疫情傳播特徵的修正；對模型基本假設的完善。
  • 以考慮潛伏期傳染性的 SEIR 改進模型為例，給出了具體的數學模型、程式設計實現、結果討論。
  • 從新冠疫情建模的角度分析看，需要考慮潛伏期傳染性對疫情傳播的影響；從新冠疫情防控的角度看，對潛伏者早發現、早診斷、早隔離，對於疫情防控是有效和必要的。

【本節完】

參考文獻：

  1. 鍾南山 等，Modified SEIR and AI prediction of the epidemics trend of COVID-19 in China under public health interventions（ 基於改進 SEIR 和 AI 模型對公共衛生干預下的 COVID-19 暴發趨勢預測），Journal of the thoracic disease，2020.3
  2. 謝家榮 等，新型冠狀病毒傳播的數學模型與預測，科學通報，2020，65(22)
  3. 林俊鋒，基於引入隱形傳播者的 SEIR 模型的 COVID-19 疫情分析和預測，電子科技大學學報，2020，49(3)
  4. 曹盛力 等，修正 SEIR 傳染病動力學模型應用於湖北省2019冠狀病毒病（COVID-19）疫情預測和評估，浙江大學學報（醫學版），2020.4
  5. 耿輝 等，基於 SEIR模型分析相關干預措施在新型冠狀病毒肺炎疫情中的作用，暨南大學學報，2020,41(2)
  6. 王思遠 等，基於改進傳染病動力學易感-暴露-感染-恢復模型 (SEIR) 預測新型冠狀病毒肺炎疫情，第二軍醫大學學報，2020，41(6)
  7. 王晨曦 等，傳染病動力學模型研究綜述，中國計算機使用者協會網路應用分會2020年第二十四屆網路新技術與應用年會論文集，2020.12
  8. 董是 等，基於系統動力學模型的 2019冠狀病毒病早期防控機制研究，浙江大學學報（醫學版），2021.2

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Python小白的數學建模課-01.新手必讀

Python小白的數學建模課-02.資料匯入

Python小白的數學建模課-03.線性規劃

Python小白的數學建模課-04.整數規劃

Python小白的數學建模課-05.0-1規劃

Python小白的數學建模課-06.固定費用問題

Python小白的數學建模課-07.選址問題

Python小白的數學建模課-09.微分方程模型

Python小白的數學建模課-B2.新冠疫情 SI模型

Python小白的數學建模課-B3.新冠疫情 SIS模型

Python小白的數學建模課-B4.新冠疫情 SIR模型

Python小白的數學建模課-B5.新冠疫情 SEIR模型

Python小白的數學建模課-B6.改進 SEIR疫情模型