Woc,考場(面試)忘記打平衡樹怎麼辦,Trie救你命

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演算法匯入

眾所周知平衡樹很難打(大佬除外),還老是調錯。萬一這種事情發生在關鍵時刻你就GG了。那我們怎麼辦呢？

從本質上介紹,平衡樹作用就是維護一個有序的序列(關係)。很多操作我們用vector(陣列)+lower_bound(二分查詢),都可以實現。但是vector插入不便,導致序列維護不便。如果用list(連結串列)代替vector,那麼查詢又很慢。怎麼辦呢？

考慮到我們一般都是維護一個整數的排序，那麼我能不能找到一種支援動態排序的資料結構。堆可以進行動態處理，但是隻有第一個是有序的，他的子節點只能滿足比他小(大)。

難道除了平衡樹我們就沒有別的方法了嗎？答案是有的。看看下面的樹。

graph TD
Root-->A["0"]
Root-->B["1"]
A["0"]-->C["0"]
A["0"]-->D["1"]
B["1"]-->E["0"]
B["1"]-->F["1"]
C["0"].->G["0"]
D["1"].->H["1"]
E["0"].->I["2"]
F["1"].->K["3"]

這不是01Trie(字典樹)嗎？這能當平衡樹？？？？

別急，仔細看看。

這個Trie是不是左子樹小於右子樹？

好像是啊

再想想為什麼？

應該是二進位制關係,左邊的節點當前這一位是0,後面更小的位再大,也不可能比當前這一位是1的大了。

沒錯

你再想想，Trie字典樹是不是可以動態插入？

好像是

所以我們可以利用這種關係實現平衡了。甚至我們還能很簡單的實現可持久化。

但是不難看出有幾個缺點。

空間要比一般平衡樹大，一個int32最壞情況需要32個int32去記錄他。當然實際情況也不可能都是這樣。實際運用中有許多的重複節點，可以重複利用的。知道數字範圍的時候也能調整樹高解決。在一道平衡樹的模板題，記憶體是FHQ_Treap的1.7倍,速度更快，記憶體是Splay的2/3，速度差不多。是紅黑樹的4/5，速度是1/2。
不能直接輸入負數(除非你建樹的時候把符號位也建立進去，不過這樣你也不好解決大小查詢，畢竟負數是補碼，情況和正數相反)。你需要加一個比較大的數值使得負數變為正數。
不能進行序列操作(不過支援這個操作的平衡樹也不多)。

當然直接用Trie也不行，你還需要維護幾個資訊,否則你沒法實現一些功能。

你需要維護

每個節點對應子樹大小
每個葉子節點的值的數量(為了支援重複值插入)

程式碼實現

提前定義

這裡我定義樹高為25層

const int MAXLOG=25;

節點資訊

需要儲存兩個兒子，節點子樹大小，葉子節點計數

程式碼如下

struct node

{

    int ch[2];

    int sze, cnt;

} Tree[MAXLOG];

int p; //模擬一個記憶體池,這是對應的頂。

插入&刪除操作

插入操作其實和一般樹沒什麼區別，唯一不同的地方就是你需要維護節點的sze和cnt資訊。

刪除操作和插入操作其實一樣，區別就是一個做加法，一個做減法。

程式碼如下

void updata(int x, int offset) // 插入/刪除 offset個x,插入正,刪除負

{

    int now = 0; //0是根

    for (int i = MAXLOG - 1; i >= 0; i--)

    {

        bool now_bit = (x & (1 << i) != 0); //第i位的數值

        if (!Tree[now].ch[now_bit] == 0)    //指向空,需要分配子節點

            Tree[now].ch[now_bit] = ++p;

        now = Tree[now].ch[now_bit];

        Tree[now].sze += offset; //這條子樹鏈上的節點都需要

    }

    Tree[now].cnt += offset; //跑到葉子節點了

}

數取排名

程式碼也是比較簡單,就是注意當節點為NULL的時候就可以退出了。

int get_rank(int x) //獲取比x小的數的數量,不包括本身

{

    int now = 0; //0是根

    int ans = 0;

    for (int i = MAXLOG - 1; i >= 0; i--)

    {

        bool now_bit = ((x & (1 << i)) != 0); //第i位的數值

        if (now_bit == 1)                     //處於大的那一邊

            ans += Tree[Tree[now].ch[0]].sze; //把比自己小的那些加上

        now = Tree[now].ch[now_bit];

        if (now == 0) //別忘了,這裡的0是空的意思

            break;

    }

    return ans;

}

排名取數

int get_kth(int k) //通過排名大小

{

    int now = 0; //0是根

    int ans = 0;

    for (int i = MAXLOG - 1; i >= 0; i--)

    {

        int temp = Tree[Tree[now].ch[0]].sze; //看看自己前面有多少

        if (k <= temp)                        //還在更前面

            now = Tree[now].ch[0];

        else //在自己後面

        {

            k -= temp; //更新相對在右子樹的位置

            now = Tree[now].ch[1];

            ans |= (1 << i); //可以確定這一位是1

        }

        if (now == 0) //別忘了,這裡的0是空的意思

            break;

    }

    return ans;

}

求前驅&後繼

這個也是草雞簡單

int pre(int x)

{

    return get_kth(get_rank(x));

}

int nxt(int x)

{

    return get_kth(get_rank(x + 1) + 1);

}

由於這個樹是基於Trie的,Trie能可持久化,這個也能。不過可持久化我們以後再講。

完整程式碼下載地址:https://files.cnblogs.com/files/blogs/694685/TrieBST.7z

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