正題

題目連結:https://www.luogu.com.cn/problem/CF1039D

題目大意

給出\(n\)個點的一棵樹，然後對於\(k\in[1,n]\)求每次使用一條長度為\(k\)的鏈覆蓋樹並且不能重複覆蓋點時最大覆蓋條數。

\(1\leq n\leq 10^5\)

解題思路

先考慮暴力怎麼做，因為每條鏈的價值都是一，顯然的一種貪心思想是能合併的就合併（沒有讓出一條鏈給另一條鏈騰空間的必要）。

這樣的複雜度是\(O(n)\)的，但是對於每個都要求所以需要優化。

之後考慮上根號分治，對於一個\(k\)的答案顯然不會超過\(\frac{n}{k}\)，所以可以當\(k\leq \sqrt n\)的時候暴力做，然後由於答案遞增，大於\(\sqrt n\)的\(k\)答案的取值不會超過\(\sqrt n\)，每次二分斷點即可。時間複雜度\(O(n\sqrt n\log n)\)。

其實發現這樣還是不夠快，可以找到一個更好的閾值，設為\(T\)，那麼前面的複雜度就是\(T\)，後面的複雜度就是\(\frac{n}{T}\log n\)，用平衡規劃的思想當\(T=\frac{n}{T}\log n\)時最快，也就是\(T=\sqrt{n\log n}\)時最快了。

code

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<algorithm>

#include<cmath>

using namespace std;

const int N=1e5+10;

struct node{

	int to,next;

}a[N<<1];

int n,tot,cnt,dfn[N],ls[N],fa[N],f[N];

void addl(int x,int y){

	a[++tot].to=y;

	a[tot].next=ls[x];

	ls[x]=tot;return;

}

void dfs(int x){

	dfn[++cnt]=x;

	for(int i=ls[x];i;i=a[i].next){

		int y=a[i].to;

		if(y==fa[x])continue;

		fa[y]=x;dfs(y);

	}

	return;

}

int solve(int k){

	if(k==1)return n;

	int ans=0;

	for(int i=1;i<=n;i++)f[i]=1;

	for(int i=n;i>=1;i--){

		int x=dfn[i];

		if(f[x]&&f[fa[x]]){

			if(f[x]+f[fa[x]]>=k)

				ans++,f[fa[x]]=0;

			else f[fa[x]]=max(f[fa[x]],f[x]+1);

		}

	}

	return ans;

}

int main()

{

	scanf("%d",&n);

	for(int i=1;i<n;i++){

		int x,y;

		scanf("%d%d",&x,&y);

		addl(x,y);addl(y,x);

	}

	dfs(1);

	int T=sqrt((double)n*(log(n)/log(2))),last,z=T+1;

	for(int i=1;i<=T;i++)printf("%d\n",last=solve(i));

	while(z<=n){

		int l=z+1,r=n,k=solve(z);

		while(l<=r){

			int mid=(l+r)>>1;

			if(solve(mid)<k)r=mid-1;

			else l=mid+1;

		}

		for(int i=z;i<=r;i++)

			printf("%d\n",k);

		z=r+1;

	}

	return 0;

}