Microfacet模型取樣下的brdf

本文前言

在學習圖形學（games101 from bilibili）的時候，也遇到了像這樣的問題，Cook-Torrance模型無法實現粗糙度為0時，物體微表面呈現絕對鏡面的效果（呈現出一面鏡子），為了搜尋解決辦法，因此看到了這篇部落格，因為是全英文，所以就花了一點時間翻譯了一下，方便日後重新觀看，紅色字對原部落格的補充說明

前言

最近我正在為我的渲染器開發microfacet brdf模型，我注意到為microfacet brdf提供一個單獨的取樣方法是非常必要的，而不是使用預設的方法，因為預設的方法通常用於像漫反射一樣的表面，而對於像鏡面一樣的帶有mirror的brdf，效率非常低。下面的圖片是由預設取樣方法生成的。

左邊的猴子是純反射brdf，這在我之前的博文中提到過，右邊的猴子使用microfacet模型，粗糙度值為0（對於一個平滑的光面，光線大體上更趨向於向同一個方向反射，造成更小更銳利的反射）。我本來以為這兩隻猴子會有類似的結果，但事實證明這裡是錯誤的，我們幾乎看不到猴子的反射。其實沒有什麼問題，事實是，預設取樣的粗糙度為0的microfacet模型的收斂率非常低。只要有足夠的樣本，它就會達到與左圖相似的外觀。然而，足夠的樣本數可以是任意的高，這取決於你的brdf有多尖銳。

本文中提到了對microfacet brdf進行取樣的正確方法。我想在這篇部落格中記錄的是這些結論是如何從原始microfacet模型中得出的。使用這些更好的取樣方法，我們最終會對那兩隻猴子得到類似的結果。

為什麼預設的抽樣方法是低效的

那麼，為什麼這種預設的抽樣方法對於像brdf模型這樣的映象來說是低效的。首先，預設的抽樣方法與以下的pdf。

\[p_h(ω)=\frac{cos(θ)}{π}
\]

對於像Lambert, OrenNayar這樣的漫反射表面，它能達到很好的效果。事實上，它不是漫反射brdfs的取樣方法，Lambert brdf的取樣方法會尊重一個恆定值的pdf，它還涉及到位於渲染方程或LTE中的餘弦因子。

漫反射的brdf是一個均勻分佈的，而金屬表面呈現出的高光項，更像是集中於一點向周圍擴散，所以需要對某個方向進行重要性取樣，就像是一個函式中間部分的權重，比兩旁的權重佔比更大

\[L_o\omega _o=\int{L_i\left( \omega _i \right) *f\left( \omega _i,\omega _o \right) *\cos \left( \theta _i \right) d\omega _i}
\]

由於對入射光的radiance瞭解極為困難，甚至不可能，我們唯一擁有的就是brdf和餘弦係數。如果brdf和餘弦係數的乘積是這個方程中的主導因素，那麼上面提到的取樣方法可能是有效的。在大多數時候，它在實踐中是非常有效的。

然而，當brdf成為主導因素，且粗糙度為0時，預設的取樣方法的效率就會迅速下降。對於這裡的microfacet brdf，其極端形式就像dirac-delta函式（狄拉克δ函式），幾乎不可能得到brdf為非零值的樣本。而對於那些幸運的、有非零brdf值的樣本，由於其概率低，可能會達到超高值，給取樣結果帶來高方差。換句話說，收斂率相當低，這正是我們看到上述影象的原因。它甚至可以被當作是一個bug。很明顯，我們需要一個更好的方法來對這些microfacet brdfs進行取樣。

微表面模型

Microfacet Model是這幾年在實時渲染中比較熱門的，它是基於物理的著色演算法的基本原理。一般來說，它的基本形式是這樣的。

\[f(ω_i,ω_o,x)=\frac{F(ω_i,h)G(ω_i,ω_o,h)D(h)}{4cos(θ_i)cos(θ_o)}
\]

第一個分量是Fresnel，第二個分量是幾何項G項（Geometry Function，一般來說包含Geometry Obstruction和Geometry Shadowing），最後一個分量是正態分佈函式（Normal Distribution Function，簡稱NDF）。與傳統的bxdf模型相比，microfacet模型遵守能量守恆規則，允許藝術家通過一個引數而不是兩個引數來改變材料的粗糙度，即鏡面顏色和鏡面功率。

在這個方程式的所有這些因素中，NDF項通常是最主要的。NDF的具體形狀在很大程度上受到bxdf的粗糙度的影響。為了對microfacet brdf模型進行取樣，通常是先對NDF進行取樣，得到一個遵循NDF的隨機microfacet法線，然後沿法線反射出射radiance，產生入射方向。

目前有幾種NDF。本部落格將介紹以下三種，所提到的都是各向同性（當旋轉一定方位角時，能得到相同的BRDF）的。

GGX
Beckmann
Blinn

在我們繼續之前，有一條規則是所有NDF應該遵循的。

\[\int_{\varOmega}{D\left( m \right) \cos \left( \theta _m \right) d\omega =1}
\]

我們將在下面的推導中使用這個方程。解釋這個方程不在本部落格的範圍內，你們可以參考這裡的進一步細節。公式的由來hows-the-ndf-really-defined/

NDF（補充）

NDF詳細的定義可瞭解這篇文章（How Is The NDF Really Defined），文章中有對上述規則的說明

接下來介紹下面公式推導之前需要了解的

NDF遵循公式

\[dA_h=D(h)d\omega_hA\,\,\,\,\,(1)
\]

同時NDF的歸一化條件：

\[\int_{\varOmega}{D\left( m \right) \cos \left( \theta _m \right) d\omega =1} \,\,\,\,\,(2)
\]

根據式(2)可知\(\int_{\varOmega}{D\left( m \right) \cos \left( \theta _m \right) d\omega =1}\)，因此\(D(h)cos(θ_h)\)，即表示當前所採取模型NDF的概率密度（pdf）

概率密度函式的轉換有：\(p(θ,φ)=sinθp(ω)\)

GGX取樣

下面是GGX的基本形式。

\[D\left( h \right) =\frac{\alpha ^2}{\pi \left( \left( \alpha ^2-1 \right) \cos ^2\theta +1 \right) ^2}
\]

因此，關於立體角的pdf是這樣的。

\[p_h(ω) =\frac{\alpha ^2\cos \theta}{\pi \left( \left( \alpha ^2-1 \right) \cos ^2\theta +1 \right) ^2}
\]

我們通常不直接對立體角進行取樣，而是用球面座標來取樣。所以我們感興趣的不是關於立體角的pdf，而是關於球座標的pdf。

\[p_h\left( \theta ,\phi \right) =sinθp_h(\omega)=\frac{\alpha ^2\cos \theta \sin \theta}{\pi \left( \left( \alpha ^2-1 \right) \cos ^2\theta +1 \right) ^2}
\]

下面的公式非常簡單，基本上是根據特定的pdf進行抽樣，反轉法在本部落格中適用於所有ndf。請注意，這個公式沒有\(\pi\)，也就是說NDF是完全各向同性的，我們可以均勻地取樣\(\pi\)。詳細地證明，請參考這裡。這裡唯一剩下的是如何對\(\theta\)進行取樣。為了做到這一點，我們需要先得到\(θ\)的pdf。

\[p_h\left( \theta \right) =\int_0^{2\pi}{p_h\left( \theta ,\phi \right) d\phi}=\frac{2\alpha ^2\cos \theta \sin \theta}{\left( \left( \alpha ^2-1 \right) \cos ^2\theta +1 \right) ^2}
\]

接下來我們來計算CDF(Cumulative Distribution Function)：

\[p_h\left( \theta \right) =\int_0^{\theta}{\frac{2\alpha ^2\cos t\sin t}{\left( \left( \alpha ^2-1 \right) \cos ^2t+1 \right) ^2}dt}
\]

\[=\int_\theta^{0}{\frac{2\alpha ^2\cos t}{\left( \left( \alpha ^2-1 \right) \cos ^2t+1 \right) ^2}d\left( \cos t \right)}
\]

\[=\int_\theta^{0}{\frac{\alpha ^2}{\left( \left( \alpha ^2-1 \right) \cos ^2t+1 \right) ^2}d\left( \cos ^2t \right)}
\]

\[=-\frac{\alpha ^2}{\alpha ^2-1}\int_\theta^{0}{d\frac{1}{\cos ^2t\left( \alpha ^2-1 \right) +1}}
\]

\[=\frac{\alpha ^2}{\alpha ^2-1}\int_0^{\theta}{d\frac{1}{\cos ^2t\left( \alpha ^2-1 \right) +1}}
\]

\[=\frac{\alpha ^2}{\alpha ^2-1}\left( \frac{1}{\cos ^2\theta \left( \alpha ^2-1 \right) +1}-\frac{1}{\alpha ^2} \right)
\]

\[=\frac{\alpha ^2}{\cos ^2\theta \left( \alpha ^2-1 \right) ^2+\left( \alpha ^2-1 \right)}-\frac{1}{\alpha ^2-1}
\]

當一個標準隨機數\(\epsilon\)等於這個CDF時，我們有以下方程:

\[\epsilon =\frac{\alpha ^2}{\cos ^2\theta \left( \alpha ^2-1 \right) ^2+\left( \alpha ^2-1 \right)}-\frac{1}{\alpha ^2-1}
\]

解這個方程不需要比初中數學多的知識，我想也沒有必要把整個過程展示出來。上式的最終解為:

\(\theta =\mathrm{arc}\cos \sqrt{\frac{1-\epsilon}{\epsilon \left( \alpha ^2-1 \right) +1}}\) or \(\theta =\mathrm{arc}\tan \left( \alpha \sqrt{\frac{\epsilon}{1-\epsilon}} \right)\)

上述兩個方程式是完全相同的東西。選擇使用哪一個只是一個品味問題。

Beckmann取樣

Beckmann抽樣法的推導過程與上述過程十分相似。這是Beckmann分佈：

\[D\left( h \right) =\frac{1}{\pi \alpha ^2\cos ^4\theta}e^{-\frac{\tan ^2\theta}{\alpha ^2}}
\]

關於球面座標的pdf是這樣的：

\[p_h\left( \theta ,\phi \right) =\frac{\sin \theta}{\pi \alpha ^2\cos ^3\theta}e^{-\frac{\tan ^2\theta}{\alpha ^2}}
\]

同理，\(\phi\)可以被均勻地取樣。\(\theta\)的pdf應該是這樣的

\[p_h\left( \theta \right) =\frac{2\sin \theta}{\alpha ^2\cos ^3\theta}e^{-\frac{\tan ^2\theta}{\alpha ^2}}
\]

\(\theta\)的CDF可以這樣計算:

\[P_h\left( \theta \right) =\int_0^{\theta}{\frac{2\sin \left( t \right)}{\alpha ^2\cos ^3t}e^{-\frac{\tan ^2t}{\alpha ^2}}}dt
\\
=\int_0^{\theta}{\frac{-2}{\alpha ^2\cos ^3t}e^{-\frac{\tan ^2t}{\alpha ^2}}}d\left( \cos \left( t \right) \right)
\\
=\int_0^{\theta}{\frac{1}{\alpha ^2}e^{-\frac{\tan ^2t}{\alpha ^2}}}d\left( \frac{1}{\cos ^2\left( t \right)} \right)
\\
=\int_0^{\theta}{\frac{1}{\alpha ^2}e^{\frac{1}{\alpha ^2}\left( 1-\frac{1}{\cos ^2t} \right)}}d\left( \frac{1}{\cos ^2\left( t \right)} \right)
\\
=\int_0^{\theta}{\frac{1}{\alpha ^2}e^{\frac{1}{\alpha ^2}\left( 1-\frac{1}{\cos ^2t} \right)}}d\left( \frac{1}{\cos ^2\left( t \right)} \right)
\\
=\int_{\theta}^0{d\left( e^{\frac{1}{\alpha ^2}\left( 1-\frac{1}{\cos ^2t} \right)} \right)}
\\
=1-e^{\frac{1}{\alpha ^2}\left( 1-\frac{1}{\cos ^2\theta} \right)}
\]

解決\(P_h(\theta)= \epsilon\)的方程可以得到以下解決方案。

\(\theta =\mathrm{arc}\cos \sqrt{\frac{1}{1-\alpha ^2\ln \left( 1-\epsilon \right)}}\) or \(\theta =\mathrm{arc}\tan \sqrt{-\alpha ^2\ln \left( 1-\epsilon \right)}\)

Blinn取樣

這裡是Blinn的NDF：

\[D\left( h \right) =\frac{\alpha +2}{2\pi}\left( \cos \theta \right) ^{\alpha}
\]

關於球面座標的pdf是：

\[p_h\left( \theta ,\phi \right) =\frac{\alpha +2}{2\pi}\left( \cos \theta \right) ^{\alpha +1}\sin \theta
\]

分離\(\phi\)可以得到以下結果：

\[p_h\left( \theta \right) =\left( \alpha +2 \right) \left( \cos \theta \right) ^{\alpha +1}\sin \theta
\]

這個比前兩個簡單多了，這是CDF:

\[P_h\left( \theta \right) =\int_0^{\theta}{\left( \alpha +2 \right) \cos \left( t \right) ^{\alpha +1}\sin \left( t \right) d\left( t \right)}
\\
=\int_{\theta}^0{\left( \alpha +2 \right) \cos \left( t \right) ^{\alpha +1}d\left( \cos \left( t \right) \right)}
\\
=\int_{\theta}^0{d\left( \cos \left( t \right) ^{\alpha +2} \right)}
\\
=1-\cos \left( \theta \right) ^{\alpha +2}
\]

以下是經典隨機數與\(\theta\)之間的關係

\[\theta =\mathrm{arc}\cos \left( \left( 1-\epsilon \right) ^{\frac{1}{\alpha +2}} \right)
\]

由於\(\epsilon\)是一個經典的隨機數，\(1-\epsilon\)也是一個。因此，我們可以用下面的方程式來簡化上述方程式。

\[\theta =\mathrm{arc}\cos \left( \epsilon^{\frac{1}{\alpha +2}} \right)
\]

關於這種抽樣方法，再多說一點。我對這個解決方案不太自信，儘管我看不出這個推導有什麼問題。PBRT（Physically Based Rendering: From Theory to Implemention 3rd）對Blinn給出了一個類似的解決方案，這就是：

\[\theta =\mathrm{arc}\cos \left( \epsilon^{\frac{1}{\alpha +1}} \right)
\]

而另一個開源的光線追蹤器Mitsuba也採用了這種取樣方式。我不太理解書中的推導，所以我就堅持用這個，也是這裡提到的那個。我試了一下pbrt的取樣方式，從圖片上可以看出只有微小的差別。

一個額外的步驟

還有一步沒有完成。我們感興趣的是入射方向的取樣，而不是法線。我們之所以直接對法線而不是入射方向進行取樣，是因為NDF通常是microfacet模型中的主導因素。在對法線取樣後生成入射方向是比入射方向本身取樣更有效的方法。

然而，我們計算給定入射方向的PDF的方式與上述尊重半向量的方式不同，無論是實體角還是球面座標。到目前為止，我們所擁有的是半向量的PDF，一個轉換是必要的。

\[p\left( \theta \right) =p_h\left( \theta \right) \frac{d\omega _h}{d\omega _i}=\frac{p_h\left( \theta \right)}{4\left( \omega _o·\omega _h \right)}
\]