尤拉函式 &【POJ 2478】尤拉篩法

設n為正整數，以$\phi(n)$表示不超過n且與n互素的正整數的個數，稱為n的尤拉函式值，這裡函式φ：N→N，n→φ(n)稱為尤拉函式。

尤拉函式是積性函式——若m,n互質， $\phi(mn)=\phi(m)\phi(n)$

特殊性質：當n為奇數時，  $\phi(2n)=\phi(n)$, 證明與上述類似。

若n為質數則 $\phi(n)=n-1$

zky學長上課時留的思考題，關於$n = \sum_{d|n} \phi(d)$的證明：

①當$n$為質數時，顯而易見$n= \sum_{d|n} \phi(d)= \phi(1) + \phi(n) = n$

②當$n=p^a$時

\[ \begin{aligned} n & = \sum_{d|n} \phi(d) \\ & = \sum_{i=0}^a \phi(p^i) \\ & = \phi(1) + \phi(p^1) + \phi(p^2) + \cdots + \phi(p^a) \\ & = 1 + p^1-p^0+p^2-p^1+ \cdots +p^a-p^{a-1} \\ = p^a = n \end{aligned} \]

③當$n$為其他情況時，將$n$分解質因數得$n=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}} \cdots p_{k}^{a_{k}}$，對於每個$p_{i}^{a_{i}}$是互質的，那麼由積性函式的性質($n$和$m$互質，則$\phi(nm)=\phi(n)\phi(m)$)和②中的證明可以得出結論，是不是很簡單啊

單個尤拉函式求法：

int euler_phi(int n){

	int m=(int)sqrt(n+0.5);

	int ans=n;

	for(int i=2;i<=m;++i)

		if (n%i==0){

			ans=ans/i*(i-1);

			while (n%i==0)

				n/=i;

		}

	if (n>1) ans=ans/n*(n-1);

}

int phi[maxn];

void phi_table(int n){

	for(int i=2;i<=n;++i)

		phi[i]=0;

	phi[1]=1;

	for(int i=2;i<=n;++i)

		if (!phi[i])

			for(int j=i;j<=n;j+=i){

				if (!phi[j])

					phi[j]=j;

				phi[j]=phi[j]/i*(i-1);

			}

}

#include<cstdio>

using namespace std;

const int N=1000003;

int num=0,prime[N],phi[N];

bool notp[N];

inline void shai(){

	phi[1]=1;

	for(int i=2;i<N;++i){

		if (!notp[i]){

			prime[++num]=i;

			phi[i]=i-1;

		}

		for(int j=1;j<=num&&i*prime[j]<N;++j){

			notp[i*prime[j]]=1;

			if (i%prime[j]==0){

				phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];

				break;

			}else

				phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];

		}

	}

}

int main(){

	shai();

	int x;

	long long ans;

	scanf("%d\n",&x);

	while (x){

		ans=0;

		for(int i=2;i<=x;++i)

			ans+=phi[i];

		printf("%I64d\n",ans);

		scanf("%d\n",&x);

	}

	return 0;

}