【DWT筆記】基於小波變換的降噪技術

一、前言

在現實生活和工作中，噪聲無處不在，在許多領域中，如天文、醫學影象和計算機視覺方面收集到的資料常常是含有噪聲的。噪聲可能來自獲取資料的過程，也可能來自環境影響。由於種種原因,總會存在噪聲，噪聲的存在往往會掩蓋訊號本身所要表現的資訊，所以在實際的訊號處理中，常常需要對訊號進行預處理，而預處理最主要的一個步驟就是降噪。

小波分析是近年來發展起來的一種新的訊號處理工具，這種方法源於傅立葉分析，小波（wavelet），即小區域的波，僅僅在非常有限的一段區間有非零值，而不是像正弦波和餘弦波那樣無始無終。小波可以沿時間軸前後平移，也可按比例伸展和壓縮以獲取低頻和高頻小波，構造好的小波函式可以用於濾波或壓縮訊號，從而可以提取出已含噪聲訊號中的有用訊號。

二、小波去噪的原理

從訊號學的角度看 ,小波去噪是一個訊號濾波的問題。儘管在很大程度上小波去噪可以看成是低通濾波 ,但由於在去噪後 ,還能成功地保留訊號特徵 ,所以在這一點上又優於傳統的低通濾波器。由此可見 ,小波去噪實際上是特徵提取和低通濾波的綜合 ,其流程圖如下所示：

一個含噪的模型可以表示如下：

其中 ,f( k)為有用訊號,s(k)為含噪聲訊號,e(k)為噪聲,ε為噪聲係數的標準偏差。

假設，e(k)為高斯白噪聲,通常情況下有用訊號表現為低頻部分或是一些比較平穩的訊號,而噪聲訊號則表現為高頻的訊號,我們對 s(k)訊號進行小波分解的時候,則噪聲部分通常包含在HL、LH、HH中,如下圖所示，只要對HL、LH、HH作相應的小波係數處理,然後對訊號進行重構即可以達到消噪的目的。

我們可以看到，小波去噪的原理是比較簡單類，類似以往我們常見的低通濾波器的方法，但是由於小波去找保留了特徵提取的部分，所以效能上是優於傳統的去噪方法的。

三、小波去噪的基本方法

一般來說，一維訊號的降噪過程可以分為 3個步驟

訊號的小波分解。選擇一個小波並確定一個小波分解的層次N，然後對訊號進行N層小波分解計算。

小波分解高頻係數的閾值量化。對第1層到第N層的每一層高頻係數（三個方向），選擇一個閾值進行閾值量化處理．

這一步是最關鍵的一步，主要體現在閾值的選擇與量化處理的過程，在每層閾值的選擇上matlab提供了很多自適應的方法，這裡不一一介紹，量化處理方法主要有硬閾值量化與軟閾值量化。下圖是二者的區別：

上面左圖是硬閾值量化，右圖是軟閾值量化。採用兩種不同的方法，達到的效果是，硬閾值方法可以很好地保留訊號邊緣等區域性特徵，軟閾值處理相對要平滑，但會造成邊緣模糊等失真現象。

訊號的小波重構。根據小波分解的第 N層的低頻係數和經過量化處理後的第1層到第N 層的高頻係數，進行訊號的小波重構。

四、模擬實驗

在這裡，我採用lena的256*256的標準圖進行分析，採用 coif2的兩層小波分解，並從三個方向上對小波係數進行軟閾值量化，為了方便起見，閾值的選擇我採用手動設定的方法，最後對影象進行小波重構，後面部分會給出重構的效果圖和相應的峰值信噪比。程式碼如下：

 clear;
 clc;
 X=imread('lena256.bmp');
 %X=rgb2gray(X);
 figure(1);
 subplot(121);
 imshow(X);
 title('原始影象');
 X=double(X);

 XX=X+10*randn(size(X));
 subplot(122);
 imshow(uint8(XX));
 title('含噪影象');

  [c,l]=wavedec2(XX,2,'coif2'); 

 n=[1,2];
 p=[10.28,10.08]; 

 nc_h=wthcoef2('h',c,l,n,p,'s');

 X1=waverec2(nc_h,l,'coif2');
 figure(2);
 subplot(131);
 imshow(uint8(X1));
 title('第一次消噪後的影象'); 

 nc_v=wthcoef2('v',nc_h,l,n,p,'s');

 X2=waverec2(nc_v,l,'coif2');
 subplot(132);
 imshow(uint8(X2));
 title('第二次消噪後的影象');

 nc_d=wthcoef2('d',nc_v,l,n,p,'s');

 X3=waverec2(nc_d,l,'coif2');
 subplot(133);
 imshow(uint8(X3));
 title('第三次消噪後的影象');

 psnr0=psnr(X,XX);
 psnr1=psnr(X,X1);
 psnr2=psnr(X,X2);
 psnr3=psnr(X,X3);

下面給出執行的效果圖，為了顯示方便，我重新排版了下，下圖是原圖和加噪後的影象：

下面給出去噪的效果圖：

信噪比資料為：

 1 psnr0 =
 2    28.1782
 3
 4 psnr1 =
 5    29.1551
 6
 7 psnr2 =
 8    30.0441
 9
10 psnr3 =
11    31.6952

為了增加實驗室可信度，可以寫一個簡單的基於DCT變換的低通濾波器的去噪的方法，如下所示：

 clear;
 clc;

 X=imread('lena256.bmp');
 %X=rgb2gray(X);
 figure(1);
 subplot(141);
 imshow(X);
 title('原始影象');
 % 生成含噪影象並圖示
 X=double(X);

 % 新增隨機噪聲
 XX=X+10*randn(size(X)); 

 Y1=dct2(XX);

 [m,n]=size(Y1)
 for i=1:m
     for j=1:n
         if abs(Y1(i,j))<20 %這個閾值要根據實際情況設定
            Y1(i,j)=0;
         end
     end
 end

 YY1=idct2(Y1);
 subplot(142)
 imshow(uint8(XX));

 subplot(143)
 imshow(uint8(YY1));

 psnr0=psnr(X,XX)
 psnr4=psnr(X,YY1)

執行的效果圖為：

執行的結果為：

 psnr0 =

    28.1068

 psnr4 =

    28.6162

由此，我們可以看出，小波變換去噪能力還是比較突出的。

五、小結

離散小波變換（DWT）在影象處理中的運用還是十分廣泛的，去噪只是其中一個。有時間會跟大家一起總結下其他的應用。

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