題目描述
You are given 2 arrays a a a and b b b , both of size n n n . You can swap two elements in b b b at most once (or leave it as it is), and you are required to minimize the value $$\sum_{i}|a_{i}-b_{i}|. $$
Find the minimum possible value of this sum.
輸入格式
The first line contains a single integer n n n ( 1≤n≤2⋅105 1 \le n \le 2 \cdot 10^5 1≤n≤2⋅105 ).
The second line contains n n n integers a1,a2,…,an a_1, a_2, \ldots, a_n a1,a2,…,an ( 1≤ai≤109 1 \le a_i \le {10^9} 1≤ai≤109 ).
The third line contains n n n integers b1,b2,…,bn b_1, b_2, \ldots, b_n b1,b2,…,bn ( 1≤bi≤109 1 \le b_i \le {10^9} 1≤bi≤109 ).
輸出格式
Output the minimum value of ∑i∣ai−bi∣ \sum_{i}|a_{i}-b_{i}| ∑i∣ai−bi∣ .
題意翻譯
給定 nnn 和兩個長度為 nnn 的陣列 a,ba,ba,b，最多交換一次 bbb 中的兩個位置的值（可以不交換）。
最小化 ∑i=1n∣ai−bi∣\sum_{i=1}^{n}|a_i-b_i|∑i=1n∣ai−bi∣。
n≤2×105n \le 2\times10^5n≤2×105；ai,bi≤109a_i,b_i\le 10^9ai,bi≤109。
輸入輸出樣例
- 5
- 5 4 3 2 1
- 1 2 3 4 5
- 4
- 2
- 1 3
- 4 2
- 2
說明/提示
In the first example, we can swap the first and fifth element in array b b b , so that it becomes [5,2,3,4,1] [ 5, 2, 3, 4, 1 ] [5,2,3,4,1] .
Therefore, the minimum possible value of this sum would be ∣5−5∣+∣4−2∣+∣3−3∣+∣2−4∣+∣1−1∣=4 |5-5| + |4-2| + |3-3| + |2-4| + |1-1| = 4 ∣5−5∣+∣4−2∣+∣3−3∣+∣2−4∣+∣1−1∣=4 .
In the second example, we can swap the first and second elements. So, our answer would be 2 2 2 .
題解
可以很容易的計算出 \(ans = \sum_{i=1}^n |a_i-b_i|\) 的值，但是我們需要交換一對，使得 ans 儘量小
假設交換 \(i,j\) 這兩對，那麼此時的答案應該為
\]
要找的這兩對應該滿足
\]
而且前者越大越好，後者越小越好，題目就像是一道二維偏序一樣，解決的思路就是先確定一維
看著這滿屏的絕對值，自然而然地想到了距離，不妨自己畫一下發現，當
b_j<a_i<a_j<b_i \\
a_i<b_j<a_j<b_i \\
b_j<a_i<b_i<a_j
\]
上述情況滿足時上面的不等式才會成立(當然以上只有 \(a_i<b_i\) 的情況，還有四種情況，請讀者自己思考)
這樣就擁有了降維的理由，我們可以按照 \(b\) 排序，這樣固定了右端點，根據上述推斷可以造成貢獻的有
\]
為了滿足區間的要求，需要進一步轉化為右端點\(\geq\)左端點
而根據貪心，固定右端點應該按照 \(b\) 升序排列，這樣可以滿足
\]
所以要計算的 \(|b_j-a_i|\) 由於 \(b_j\) 的確定，只要保留之前 \(a_i\) 的最小值就可以了
總體演算法複雜度 \(O(NlogN)\) 為排序的時間
const int N=3e5+5;int n, m, _;int i, j, k;ll a[N];ll b[N];struct Node{ll x, y;bool operator<(Node o){return x<o.x;}int tag;Node(ll x = 0, ll y = 0, int tag = 0) : x(x), y(y), tag(tag){}}p[N];signed main(){//IOS;while(~sd(n)){ll ans = 0;rep(i, 1, n) sll(a[i]);rep(i, 1, n) sll(b[i]), ans += abs(a[i] - b[i]);rep(i, 1, n){if(a[i] <= b[i]) p[i] = Node(a[i], b[i], 0);else p[i] = Node(b[i], a[i], 1);}sort(p + 1, p + 1 + n);ll maxx = 0;ll ed[2] = {0, 0};rep(i, 1, n){ed[p[i].tag] = max(ed[p[i].tag], p[i].y);if(!ed[p[i].tag ^ 1]) continue;if(p[i].x <= ed[p[i].tag ^ 1]){if(p[i].y <= ed[p[i].tag ^ 1]){maxx = max(maxx, p[i].y - p[i].x);continue;}maxx = max(maxx, ed[p[i].tag ^ 1] - p[i].x);}}pll(ans - maxx * 2);}//PAUSE;return 0;}