淺談Tarjan縮點（分析+模板）
昨天一看發現我的部落格數量到100篇了，撒花✿✿ヽ(°▽°)ノ✿
根據標題我們也知道，想要在接下來的十分鐘不浪費生命
讀者需要先行學習Tarjan強聯通分量
如果不會的話可以點選這裡： ofollow,noindex">https://www.cnblogs.com/WWHHTT/p/9744658.html
好的，現在我們就假設大家都知道了Tarjan，來看看如何利用Tarjan縮點
在學習如何寫程式碼之前，我們必須要先弄明白什麼是縮點
也就是定義
百度百科上並沒有給出詳細解釋，我就來總結幾句
縮點就是把一個有向圖中的強聯通分量轉換成一個點
轉換完之後的圖是一個DAG（有向無環圖）
通常用來解決圖中具有傳遞性的問題（還有最大值和乘法原理）
我們來舉個例子吧
上面這個圖中，圓裡的是編號，紅色的是點的權值，箭頭代表邊的方向
這個圖縮點之後是這樣的
符號所表示的東西不變，原來的2,3,4變成了現在的2，原來的5是現在的3
是不是感覺沒有多難，下面我來帶大家看一下具體的實現流程
分為兩步：
1.求出圖中的強聯同分量，並轉化為點
2.將轉化出來的新的點建成一個新的圖
step1:
如何求出強聯通分量就不多說了（不會的去看上面的連結）
每一種強聯通分量會縮成一個點，這個店的編號我們就定為發現它的順序，也就是染上的顏色
每一種顏色（一個強聯通分量）對應一個點
但是要在中間加一個操作，用來計算一個聯通分量的所縮成的點的點權（看註釋）
void Tarjan(int x,int fa){
low[x]=dfn[x]=++tot;
sta[++size]=x;
book[x]=1;
for(int e=head1[x];e;e=nxt1[e]){
if(!dfn[to1[e]]){
Tarjan(to1[e],x);
low[x]=min(low[x],low[to1[e]]);
}
else if(book[to1[e]]) low[x]=min(low[x],dfn[to1[e]]);
}
if(dfn[x]==low[x]){
color[x]=++color_cnt;
v2[color_cnt]=v[x];
while(size&&sta[size]!=x){
color[sta[--size]]=color_cnt;
book[sta[size]]=0;
v2[color_cnt]+=v[sta[size]];//這個點的權值的計算，根據題目來確定
}
--size;
}
return ;
}
step2:
建圖的邊怎麼練一直是個難點，首先可以確定的是因為原來的強連通分量已經變成一個個的點了
所以肯定無法照搬原圖
但也不可能自創，所以需要判斷，從原來的圖上選擇那些邊
選邊的原則是 不能是一個強連通分量裡的邊
也就是說別的邊都可以選
那麼有的人就問了，縮完點之後不擔心友誼重邊嗎
這很好處理，用鄰接矩陣來存（不推薦），或者在之後的程式中標記都可以
特別提到，印的圖要用一個新的鄰接表來存
而且 要連線的不是原來的點，而是兩個點被染成的顏色
程式碼實現的話很簡單，迴圈和dfs都可以，這裡我們採用迴圈（程式碼量較小）
void change(){
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int e=head1[i];e;e=nxt1[e]){
if(color[i]!=color[to1[e]]) add2(color[i],color[to1[e]]);
}
}
return ;
}
那麼最後我們來總結一下程式碼
先給一組資料：（對應上面的圖）
5 5 //點的數量 邊的數量
1 1 1 1 1 //點權
1 2 //邊
2 3
3 4
4 2
2 5
輸出：
3 //新的點的數量
1 3 1 //新的點的權值
下面給出程式碼：
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
using namespace std;
inline int min(int a,int b){return a<b?a:b;}
inline int max(int a,int b){return a>b?a:b;}
inline int rd(){
int x=0,f=1;
char ch=getchar();
for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-1;
for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';
return x*f;
}
inline void write(int x){
if(x<0) putchar('-'),x=-x;
if(x>9) write(x/10);
putchar(x%10+'0');
return ;
}
int n,m;
int v[100006];
int head1[100006],nxt1[100006],to1[100006];
int total1=0;
void add1(int x,int y){
total1++;
to1[total1]=y;
nxt1[total1]=head1[x];
head1[x]=total1;
return ;
}
int dfn[100006],low[100006];
int color[100006];
int tot=0;
int color_cnt=0;
int book[100006];
int sta[100006];
int v2[100006];
int size=0;
void Tarjan(int x,int fa){//Tarjan模板
low[x]=dfn[x]=++tot;
sta[++size]=x;
book[x]=1;
for(int e=head1[x];e;e=nxt1[e]){
if(!dfn[to1[e]]){
Tarjan(to1[e],x);
low[x]=min(low[x],low[to1[e]]);
}
else if(book[to1[e]]) low[x]=min(low[x],dfn[to1[e]]);
}
if(dfn[x]==low[x]){
color[x]=++color_cnt;
v2[color_cnt]=v[x];
while(size&&sta[size]!=x){
color[sta[--size]]=color_cnt;
book[sta[size]]=0;
v2[color_cnt]+=v[sta[size]];//這個點的權值的計算，根據題目來確定
}
--size;
}
return ;
}
int head2[100006],nxt2[100006],to2[100006];
int total2=0;
void add2(int x,int y){
total2++;
to2[total2]=y;
nxt2[total2]=head2[x];
head2[x]=total2;
return ;
}
void change(){
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int e=head1[i];e;e=nxt1[e]){
if(color[i]!=color[to1[e]]) add2(color[i],color[to1[e]]);//將兩個點連邊
}
}
return ;
}
int main(){
n=rd(),m=rd();
for(int i=1;i<=n;i++) v[i]=rd();//得到點權
for(int i=1;i<=m;i++){
int x=rd(),y=rd();
add1(x,y);//有向邊
}
Tarjan(1,0);
change();
printf("%d\n",color_cnt);
for(int i=1;i<=color_cnt;i++){
printf("%d ",v2[i]);
}
return 0;
}