關於二分法問題個人理解
雖然二分法很簡單，但是之前並沒有對其有過太多的注意，只是把它當成一個查詢元素的方法來應用，但是隨著後面做題的深入，發現二分法也有很多講究，所以這裡做一個總結歸納一下；
一、二分法的基礎概念：
二分法研究的序列可以分為重複或者非重複序列，其序列要求都是遞增有序的；
對於非重複序列，我們可以很簡單的給出相應的推理和邏輯；
例如，我們如果要在一個嚴格遞增序列中查詢給定的x，就可以有以下程式碼：
int binarySearch(int A[],int left,int right,int x){
int mid;
while(left<=right){
mid=(left+right)/2;
if(A[mid]==x)
return mid;
else if(A[mid]>x){
right=mid-1;
}else{
left=mid+1;
}
}
return -1;
}
注意兩點：
1.判定條件left<=right,有的情況下寫成left<right，這個需要視情況而定；
2.當left和right達到一定程度的時候，如果簡單相加計算mid的時候，可能會導致溢位，所以往往比較保險的辦法就是：
mid=left+(right-left)/2
這樣就可以很好的避免溢位，從而保證能夠進行mid的計算；
上述針對的是遞增非重複序列，如果重複序列，我們又該作何思考？
例如示例中給出的問題，如果給出一個重複的遞增序列A，我們需要求出第一個大於等於x的位置L以及第一個大於x的元素的位置R；
這是兩個小問題，首先先進行第一個小問題的求解：找出第一個大於等於x的位置L；
其實對於這個問題，前提就已經默認了，必有L存在，所以判定條件就會發生相應的變化；
int lower_bound(int A[],int left,int right,int x){
int mid;
while(left<right){
mid=(left+right)/2;
if(A[mid]>=x){
right=mid-1;
}else{
left=mid+1;
}
}
return left;
}
這裡我們可以看出變了兩個條件，第一個是left<right，第二個是A[mid]>=x；
對於第一個條件的改變，我們可以理解為把符合條件的元素夾出來，當迴圈終止的時候，必有left=right,此時兩個索引指向同一個元素，該元素就是我們在尋找的元素；
而對於第二個條件的改變，則是由於題目性質決定的；如果中間點大於等於x，則我們可以認為要尋找的第一個x在mid的左邊，所以right=mid。即使在等於條件下，由於right=mid，所以還是可以保證要尋找的數在[left,right]區間內；這一點和之前的mid+1和mid-1完全不同，其根本原因是序列內元素是否唯一；
如果難以判別使用哪種方法，則每次及逆行mid迭代的時候，一定要試一試邊界是否能夠像預期那樣包括進行需要尋找的元素；
第二個自問題就是求序列中第一個大於x的位置;
對於這個問題，我們仍然需要關注的是判定條件;
程式碼如下：
int upper_bound(int A[],int left,int right,int x){
int mid;
while(left<right){
mid=(left+right)/2;
if(A[mid]>x){
right=mid;
}else{
left=mid+1;
}
}
return left;
}
對於個演算法，同樣的我們需要left==right來將符合的值夾出來；
當A[mid]>x時，由於我們尋找的時大於x的值，此時該值必在mid的左邊，同樣的，如果mid就是大於x的值，也應該包括進去，所以此時，right=mid;
當A[mid]<=x時，由於我們尋找的是一個大於x的值，所以mid不必包括進去，left=mid+1;
總的來說，上述推舉的方法，都在解決一個核心問題：在該序列中，找到第一個符合該條件的值；
二、二分法的主要應用：
1.利用二分法求某數字的近似值：
這個問題其實很經典，自己以前碰到過幾次；
例如：求解根號2的近似值，要求精度在10^-5；
這個問題就可以利用該方法進行計算；
首先我們需要構建目標函式F(x)=x^2，從而轉換成1~2區間內的實數計算；
設定邊界left=1，right=2，來利用函式進行逼近；
程式碼如下：
const double eps=1e-5;
double f(double x){
return x*x;
}
int binarySearch(){
double left=1;
double right=2;
double mid;
while(right-left>1e-5){
mid=(right+left)/2;
if(f(mid)>2){
right=mid;
}else{
left=mid;
}
}
return mid;
}
2.快速冪：
快速冪就是給出三個整數a,b,m,求得a^b%m；
這個問題也可以採用二分思想來進行遞迴計算；
若b是奇數：a^b=a*a^(b-1)
若b是偶數：a^b=a^(b/2)*a^(b/2);
程式碼如下：
long long binarypow(long long a,long long b,long long m){
if(b==0)
return 1;
if(b%2==1)
return a*binarypow(a,b-1,m)%m;
else{
long long mul=binarypow(a,b/2,m);
return mul*mul%m;
}
}
注意上述的mul，不要單純計算兩次a^(b/2),而使用mul，這樣可以適當的介紹時間複雜度；