康託展開
注意： 本文所有的排名均是從第0名開始。
康託展開：
已知一個$1—n$的排列$A=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}$，求它在所有排列中的字典序排名。
常用於將$n$個全排列對映到$n!$個自然數中。
求解這個問題的思路大概是下面這樣的：
$(1)$ $A$的排名=字典序小於$A$的排列個數。所以只需要知道有多少個排列比$A$小就好了w
$(2)$ 我們按位考慮，第一位小於$a_1$的所有排列肯定比$A$小，這部分有$(a_{1}-1)\times (n-1)!$個。
$(3)$ 在第一個數等於$a_1$的所有排列中，第二位小於$a_2$的所有排列也肯定比$A$小。
那麼這部分有$(a_{2}-1)\times (n-2)!$個對不對？
但是這個時候出現了一個問題：
如果$a_{1}<a_{2}$，那麼第二位就不能再用$a_1$這個數了（因為是排列）。
所以應該有$(a_{2}-2)\times (n-2)!$個。
當然如果$a_{1}>a_{2}$就不需要額外$-1$了w
$(4)$ 現在我們把$(3)$的結論推廣，
前$i-1$位與$A$相同且第$i$位小於$A$的排列，共有$(a_{i}-cnt_{i}-1)\times (n-i)!$個。
其中$cnt_i$表示$\{a_{1},a_{2},\cdots ,a_{i-1}\}$中小於$a_i$的個數。
顯然所有這樣的排列加起來就是比$A$小的排列總數（有序統計）。
$(5)$ 注意到$a_{i}-cnt_{i}-1$還等於後$\{a_{i},a_{i+1},\cdots ,a_{n}\}$中小於$a_i$的個數（因為是排列……）。
所以我們就得到了康託展開公式：
$Rank_{A}=b_{n}\times (n-1)!+b_{n-1}\times (n-2)!+\cdots +b_1 \times 0!$
其中$b_{i}$表示$a_i$在當前未出現的$a$中排在第幾個。
關於實現，只需要按定義模擬即可。
程式碼：
inline int Cantor(){
int rank=0;
for(int i=1;i<=N;i++){
int s=0;
for(int j=i+1;j<=N;j++)
s+=(A[j]<A[i]);
rank+=s*jc[N-i];
}
return rank;
}
逆康託展開：
和上面相反，已知某排列的排名$x$，求這個排列。
解決思路基本沒區別（說是相反也行）：
假設我們現在要求$a_i$的值，首先可以得到$b_i=x\div (n-i)!$。
那麼也就是知道了$a_i$在當前未出現過的$a$中的排名。
但僅僅知道這個不能直接計算，所以我們還要記錄一下前$i-1$位出現過的$a$。
然後$O(n)$列舉求出答案。
下面是一個例子：
此時$n=8,i=4$，前$3$位出現了$1,4,6$。
假設$b_i=3$，那麼$a_i$在未出現的數裡排名第$3$。
由於排名是從$0$開始的，$a_i$就是灰色的第$4$個數$7$。
程式碼：
inline void inv_Cantor(int x){
memset(vis,0,sizeof(vis));
for(int i=1;i<=N;i++){
int tp=x/jc[N-i];
for(int j=1;j<=N;j++){
if(vis[j]) continue;
if(tp==0){
vis[j]=1,A[i]=j;
break;
} tp--;
}
x=x%jc[N-i];
}
return;
}
模板題目： loj10027
程式碼：（ 這題的排名是從1開始的 ）
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<queue>
using namespace std;
#define MAXN 10
#define MAXM 1000005
#define INF 0x7fffffff
#define ll long long
inline int read(){
int x=0,f=1;
char c=getchar();
for(;!isdigit(c);c=getchar())
if(c=='-')
f=-1;
for(;isdigit(c);c=getchar())
x=x*10+c-'0';
return x*f;
}
int N=8,dis[MAXM],com[MAXM];
int jc[MAXN],A[MAXN],last[MAXM];
bool vis[MAXM],vvis[MAXN];
inline int Cantor(){
int rank=0;
for(int i=1;i<=N;i++){
int s=0;
for(int j=i+1;j<=N;j++)
s+=(A[j]<A[i]);
rank+=s*jc[N-i];
}
return rank+1;
}
inline void inv_Cantor(int x){
x-=1; memset(vvis,0,sizeof(vvis));
for(int i=1;i<=N;i++){
int tp=x/jc[N-i];
for(int j=1;j<=N;j++){
if(vvis[j]) continue;
if(tp==0){
vvis[j]=1,A[i]=j;
break;
} tp--;
}
x=x%jc[N-i];
}
return;
}
inline int get1(int x){
inv_Cantor(x);
swap(A[1],A[8]);
swap(A[2],A[7]);
swap(A[3],A[6]);
swap(A[4],A[5]);
return Cantor();
}
inline int get2(int x){
inv_Cantor(x);
swap(A[1],A[4]);
swap(A[2],A[4]);
swap(A[3],A[4]);
swap(A[5],A[8]);
swap(A[5],A[6]);
swap(A[6],A[7]);
return Cantor();
}
inline int get3(int x){
inv_Cantor(x);
swap(A[3],A[7]);
swap(A[2],A[3]);
swap(A[6],A[7]);
return Cantor();
}
inline void init(){
jc[0]=1;
for(int i=1;i<=N;i++)
jc[i]=jc[i-1]*i;
return;
}
inline void print(int u){
if(u==1) return;
print(com[u]);
if(last[u]==1) printf("A");
if(last[u]==2) printf("B");
if(last[u]==3) printf("C");
}
void BFS(){
int end=Cantor();
queue<int> q; q.push(1);
dis[1]=0,vis[1]=1;
while(!q.empty()){
int u=q.front(); q.pop();
if(u==end){
printf("%d\n",dis[u]);
print(u);
printf("\n");
break;
}
int t1=get1(u),t2=get2(u),t3=get3(u);
if(!vis[t1]){
dis[t1]=dis[u]+1,vis[t1]=1;
last[t1]=1,com[t1]=u;
q.push(t1);
}
if(!vis[t2]){
dis[t2]=dis[u]+1,vis[t2]=1;
last[t2]=2,com[t2]=u;
q.push(t2);
}
if(!vis[t3]){
dis[t3]=dis[u]+1,vis[t3]=1;
last[t3]=3,com[t3]=u;
q.push(t3);
}
}
return;
}
int main(){
for(int i=1;i<=N;i++)
A[i]=read();
init(); BFS();
return 0;
}