資料結構系列（4）之 B 樹
摘要：
本文將主要講述另一種樹形結構， B 樹 ；B 樹是一種 多路平衡查詢樹 ，但是可以將其理解為是由二叉查詢樹合併而來；它主要用於在不同儲存介質之間查詢資料的時候，減少 I/O 次數（因為一次讀一個節點，可以讀取多個數據）；
一、結構概述
B 樹，多路平衡查詢樹，即有多個分支的查詢樹；...
本文將主要講述另一種樹形結構， B 樹 ；B 樹是一種 多路平衡查詢樹 ，但是可以將其理解為是由二叉查詢樹合併而來；它主要用於在不同儲存介質之間查詢資料的時候，減少 I/O 次數（因為一次讀一個節點，可以讀取多個數據）；
一、結構概述
B 樹，多路平衡查詢樹，即有多個分支的查詢樹；如圖所示：
B 樹主要應用於多級儲存介質之間的查詢，圖中的藍色節點為 外部節點 ，代表下一級儲存介質；綠色節點則為內部節點；同時我們將B 樹按照其最大分支樹進行分類，比如圖中的則為4 階B 樹；
對於 m 階 B 樹（m >= 2）：
- 外部節點的深度統一相等，葉子節點的深度統一相等，樹高等於外部節點深度；
- 內部節點不超過（m-1）個關鍵碼，不超過 m 路分支，同時不少於（⌈m /2⌉）路分支，但是根節點最少一路分支即可；
- 所以 m 階 B 樹又稱為（⌈m /2⌉，m）樹；
public class BTree<E extends Comparable<? super E>> implements Iterable<E> {
private Node<E> root;
private final int order;
private final int MAX_KEYS;
private final int MIN_KEYS;
private int height;
private int totalSize;
final class Node<T> {
Object[] values;
Node<T>[] children;
Node<T> parent;
boolean isLeaf;
int size;
Node() {
this.values = new Object[order];// 實際只有order-1個關鍵碼，超出時會分裂；
this.children = new Node[order + 1];// 同樣+1；
this.isLeaf = true;
this.size = 0;
}
}
}
二、節點修復
因為B 樹節點的在 [ ⌈m/2⌉ - 1， m -1 ] 之間，所以在動態插入和刪除的過程中一定會發生不平衡，下面將介紹修復不平衡的幾種方法；
1. 分裂
插入時當節點的關鍵碼超過 m-1 ，就將大節點分為兩個小節點；如圖：
分裂時：
⌊m/2⌋
實現：
private void split(Node<E> p) {
Node<E> parent = p.parent;
if (parent == null) {// parent為null，即當前節點為root，需要上升高度（唯一會導致樹高度增加的操作）
parent = new Node<E>();
parent.isLeaf = false;// 設定為非葉子節點
root = parent;// 更新root節點
height++;// 高度加1
}
int mid = (p.size - 1) >>> 1; // 需要上一的關鍵碼
Node<E> left = new Node<E>(); // 分裂，建立一個新的空節點
Node<E> right = p;// 右邊節點為原來的節點
left.isLeaf = p.isLeaf;// 節點是否葉子，取決於分裂前是否葉子。
// 更新孩子節點的parent指標
if (!p.isLeaf) {
for (int i = 0; i <= mid; ++i) {// 左子樹的孩子應該指向左子樹。
p.children[i].parent = left;
}
}
parent.insertToNonLeaf((E) p.values[mid], left, right); // 把中間節點插入父節點。
int i, j;
// 拷貝右子樹資訊到左子樹。
for (i = 0; i < mid; ++i) {
left.values[i] = right.values[i];
left.children[i] = right.children[i];
}
left.children[i] = right.children[mid];
left.size = mid;// 更新左子樹關鍵字數量
// 刪除右子樹多餘關鍵字和孩子，因為已經拷貝到左孩子中去了。
for (i = mid + 1, j = 0; i < right.size; ++i, ++j) {
right.values[j] = right.values[i];
right.children[j] = right.children[i];
}
right.children[j] = right.children[right.size]; // 更新最後一個孩子節點, 注意奇數j == mid，但偶數不是。。
right.size = right.size - mid - 1;// 更新右子樹關鍵字數量
left.parent = parent;// 把子樹的父親節點更新
right.parent = parent;
if (parent.size > MAX_KEYS)// 如果父親節點也達到最大關鍵字數量，需要遞迴分裂。
split(parent);
}
int insertToNonLeaf(T key, Node<T> left, Node<T> right) {
int index = insertIndex(key);
if (index < 0) return index;
for (int i = size; i > index; --i) {
values[i] = values[i - 1];
children[i + 1] = children[i];
}
children[index] = left;
children[index + 1] = right;
values[index] = key;
size++;
return index;
}
2. 旋轉
刪除節點時，可能會導致節點的關鍵碼數量小於 ⌊m/2⌋ ，此時可以向他的左孩子或者右孩子，借一個關鍵碼；如圖：
圖中：
- 首先檢查發現沒有左兄弟，並且右兄弟可以借出
- 然後左旋轉父節點，父節點的關鍵碼進入補齊，右兄弟的關鍵碼進入父節點；
右孩子富裕時左旋：
private void leftRotate(Node<E> p) {
Node<E> right = rightSibling(p);// 獲取右兄弟
int myRank = rankInChildren(p);// 獲取在父節點中的秩
Object oldSeparator = p.parent.values[myRank];
p.values[p.size] = oldSeparator;
p.size++;
Object newSeparator = right.values[0];
Node<E> child = right.isLeaf ? null : right.children[0];// 獲取右兄弟中最小的關鍵碼
int i;
for (i = 0; i < right.size - 1; ++i) {
right.values[i] = right.values[i + 1];
if (!right.isLeaf)
right.children[i] = right.children[i + 1];
}
if (!right.isLeaf) {
right.children[right.size - 1] = right.children[right.size];
child.parent = p;
p.children[p.size] = child;
}
right.size--;
p.parent.values[myRank] = newSeparator;
}
private Node<E> rightSibling(Node<E> p) {
if (p == null || p.parent == null) // 根節點無兄弟節點
return null;
Node<E> parent = p.parent;
int i = rankInChildren(p);
if (i >= 0 && i < parent.size) {
return parent.children[i + 1];
}
return null;
}
左孩子富裕時右旋：
private void rightRotate(Node<E> p) {
Node<E> left = leftSibling(p);
int myRank = rankInChildren(p);
Object oldSeparator = p.parent.values[myRank - 1];
Node<E> child = null;
if (!left.isLeaf) {
child = left.children[left.size];
p.children[p.size + 1] = p.children[p.size];
}
for (int i = p.size; i >= 1; --i) {
p.values[i] = p.values[i - 1];
if (!p.isLeaf)
p.children[i] = p.children[i - 1];
}
if (!left.isLeaf) {
child.parent = p;
p.children[0] = child;
}
p.values[0] = oldSeparator;
p.size++;
Object newSeparator = left.values[left.size - 1];
left.size--;
p.parent.values[myRank - 1] = newSeparator;
}
private Node<E> leftSibling(Node<E> p) {
if (p == null || p.parent == null) return null;
Node<E> parent = p.parent;
int i = rankInChildren(p);
if (i >= 1) return parent.children[i - 1];
return null;
}
3. 合併
當左右孩子的關鍵碼都不足以借出時，則將兩個孩子合併，如圖：
圖中：
- 首先左右兄弟都不足以借出
- 從父節點借得一個關鍵碼；
- 然後以借得的關鍵碼為粘合左右兄弟節點；
- 最後需要檢查父節點是否平衡；
實現：
private void merge(Node<E> p) {
Node<E> parent = p.parent;
assert (parent != null);
Node<E> left = p; // left node 或者是當前節點，即貧困節點，或者是當前節點的左兄弟節點。
Node<E> right = rightSibling(p);
if (right == null) {
left = leftSibling(p);
right = p;
}
int myRank = rankInChildren(left);
// 把父親節點的Separator下移到需要合併的節點left
Object separator = parent.values[myRank];
left.values[left.size] = separator;
left.size++;
// 從父親節點中刪除Separator
for (int i = myRank; i < parent.size - 1; i++) {
parent.values[i] = parent.values[i + 1];
parent.children[i + 1] = parent.children[i + 2];
}
//FIXME
parent.values[parent.size - 1] = null;
parent.children[parent.size] = null;
parent.size--;
// 拷貝右節點到左節點
for (int i = 0; i < right.size; ++i) {
left.size++;
left.values[left.size - 1] = right.values[i];
if (!left.isLeaf) {
right.children[i].parent = left; // donot forget it.
left.children[left.size - 1] = right.children[i];
}
}
// 不要忘記最後一個孩子更新。
if (!left.isLeaf) {
right.children[right.size].parent = left;
left.children[left.size] = right.children[right.size];
}
// 如果父親節點也貧困了，需要從父親節點重新調整，直到滿足平衡或者父親節點就是root節點
if (parent.size < MIN_KEYS) {
if (parent.size == 0 && parent == root) {
root = left;
root.parent = null;
height--;
} else {
rebalancingAfterDeletion(parent);
}
}
}
三、查詢
查詢時採取逐層查詢：
- 查詢不大於目標關鍵碼的最大值；
- 精確對比是否命中，若沒有命中則深入孩子節點
實現：
public Node<E> search(E e) {
Node<E> v = root;
while (v != null) {// 逐層查詢
int r = v.search(e);// 在當前節點中，找到不大於e的最大關鍵碼
if (r >= 0 && cmp(e, v.values[r]) == 0) {
return v;
}
v = v.children[r + 1];// 轉入對應子樹——需做I/O，最費時間
}
return null;
}
int search(T key) {
int low = 0;
int high = size - 1;
do {
int mi = (low + high) >> 1;
if (cmp(key, values[mi]) < 0) {
high = mi;
} else {
low = mi + 1;
}
} while (low < high);
return --low;
}
四、插入
public boolean add(E key) {
if (key == null) {
return false;
}
if (root == null) {
root = new Node<E>();
this.height = 1;
this.totalSize = 0;
}
boolean inserted = insert(key, root);
if (inserted) {
++totalSize;
++modCount;
return true;
} else {
return false;
}
}
private boolean insert(E key, Node<E> p) {
assert (p != null);
if (!p.isLeaf) { // 總是插入到葉子中，不可能直接插入到內部節點
int index = p.insertIndex(key); // 獲取插入位置，如果 < 0說明已存在
if (index < 0) // index < 0 說明key已存在
return false;
return insert(key, p.children[index]); // 插入的位置就是孩子的位置
}
boolean inserted = p.insertToLeaf(key) >= 0; // p是葉子節點，直接插入。
if (p.size > MAX_KEYS) { // 如果關鍵字多於最大關鍵字數量，需要分裂節點。
split(p);
}
return inserted;
}
int insertToLeaf(T key) {
int index = insertIndex(key);
if (index < 0)
return index;
for (int i = size; i > index; --i) {// 移動向右key
values[i] = values[i - 1];
}
values[index] = key;
++size;
return index;
}
五、刪除
public boolean remove(E e) {
if (root == null) {
return false;
}
boolean isRemoved = remove(e, root);
if (isRemoved) {
--totalSize;
++modCount;
}
return isRemoved;
}
private boolean remove(E e, Node<E> p) {
if (p.isLeaf) { // 刪除的關鍵字在葉子節點中，直接刪除，然後重新調整
boolean isRemoved = p.deleteFromLeaf(e);
if (p.size < MIN_KEYS) {
rebalancingAfterDeletion(p); // rebalances the tree
}
return isRemoved;
}
int index = p.binarySearch(e);
if (index < 0) { // 不在吃節點中，遞迴從子樹中查詢。
return remove(e, p.children[-index - 1]); // -index - 1就是插入位置，即孩子節點位置。
}
// 刪除的是內部節點，需要尋找左子樹最大節點（或者右子樹中最小節點）作為新分隔符替換刪除的關鍵字。
Node<E> leftLeaf = leftLeaf(p, index);// 尋找左子樹最右節點。
Object candidate = leftLeaf.values[leftLeaf.size - 1];
//從葉子節點中移除候選節點
leftLeaf.values[leftLeaf.size - 1] = null;
leftLeaf.size--;
//候選節點作為分隔符替代刪除的節點。
p.values[index] = candidate;
//重新調整樹使其平衡。
if (leftLeaf.size < MIN_KEYS) {
rebalancingAfterDeletion(leftLeaf);
}
return true;
}
boolean deleteFromLeaf(T key) {
int index = binarySearch(key);
if (index < 0)
return false;
for (int i = index; i < size; ++i) {
values[i] = values[i + 1];
}
this.size--;
return true;
}
private void rebalancingAfterDeletion(Node<E> p) {
if (p == root) { // 說明p是root節點，不需要處理
return;
}
Node<E> left = leftSibling(p); // 獲取左兄弟
if (left != null && left.size > MIN_KEYS) { // 左兄弟很富裕, 右旋轉。
rightRotate(p);
return;
}
Node<E> right = rightSibling(p); // 右兄弟
if (right != null && right.size > MIN_KEYS) { // 如果右兄弟節點富裕，左旋轉。
leftRotate(p);
return;
}
merge(p);
}
總結
- 通常情況下B 樹節點的大小設定會和快取頁相當，以保證一次能夠獲取更多的關鍵碼，以減少 I/O；
- B 樹仍然還有很多的變種，甚至紅黑樹也和（2,4）B 樹息息相關，後面的章節會繼續講到；