隨機變數的期望
離散型隨機變數的數學期望
若離散型隨機變數X的概率質量函式 為f(x)，則其期望為 \[ E(X)=\sum_i^n x_if(x_i) \]
例：伯努力分佈的數學期望
設Z服從伯努力分佈，求Z的數學期望。 解： 伯努力分佈是兩點分佈，可知其概率質量函式為 \[ f(x)=\begin{cases} p & \text{ 若 } x=1 \\ 1-p & \text{ 若 } x=0 \end{cases} \] 按照定義代入： \[\begin{align*} E(X) =& \sum_i^n x_if(x_i)\\ =& 1\times p+0\times (1-p) \\ =& p \end{align*}\]
若離散型隨機變數X的概率質量函式為f(x)，則\(\phi(x)\)的期望為 \[ E(\phi(x))=\sum_i^n \phi(x_i) f(x_i) \]
例：伯努力分佈的函式的數學期望
設Z服從伯努力分佈，求\(E(e^Z)\)。 解： 按照定義： \[\begin{align*} E(X) =& \sum_i^n e^{x_i} f(x_i)\\ =& e^1 \times p+ e^0\times (1-p) \\ =& ep+1-p \end{align*}\]
連續型隨機變數的期望
若連續型隨機變數X的概率密度函式 為f(x)，則其期望為 \[ E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}x f(x) \mathrm{d}x \]
例：自定義概率密度函式
chs007chs.均勻分佈的期望與方差 . . 2017-09-29 [2019-03-07].
解：
按照定義， \[ \begin{align*} E(X) =& \int_{-\infty}^{\infty}x f(x)\ \mathrm{d}x\\ =& \int_{-\infty}^{a}x 0\ \mathrm{d}x+ \int_{a}^{b}x f(x)\ \mathrm{d}x+\int_{b}^{\infty}x 0\ \mathrm{d}x \\ =& 0 +\int_{a}^{b}x \frac{1}{b-a}\ \mathrm{d}x + 0\\ =& \frac{x^2}{2(b-a)} \bigg|_a^b \\ =& \frac{b^2}{2(b-a)}-\frac{a^2}{2(b-a)} \quad \because a\neq b \\ =& \frac{1}{2}(a+b) \end{align*} \]
Mathematica命令：
Simplify[Integrate[x /(b – a), {x, a, b}], a != b] Out[]:= \(\frac{a+b}{2}\)
例：更復雜的自定義概率密度函式
品一口回味無窮.根據分佈函式求數學期望 . . 2015-09-30 [2019-03-07].
解：
按照定義， \[ \begin{align*} E(X) =& \int_{-\infty}^{\infty}x f(x)\ \mathrm{d}x\\ =& \int_{-\infty}^{0}x 0\ \mathrm{d}x+ \int_{0}^{\infty}\frac{3x}{(x+1)^4}\ \mathrm{d}x \\ =& \int_{0}^{\infty}\frac{3x}{(x+1)^4}\ \mathrm{d}x \end{align*} \]
發現 \(\int_{0}^{\infty}\frac{3x}{(x+1)^4}\ \mathrm{d}x\) 不好求。我們先求\(\frac{3x}{(x+1)^4}\)的不定積分。 \[\begin{align*} \int \frac{3x}{(x+1)^4}\ \mathrm{d}x\ =& \text{使用積分常數法則}\qquad 3\int\frac{x}{(x+1)^4} \ \mathrm{d}x = 3\int\frac{x+1-1}{(x+1)^4} \ \mathrm{d}x\\ =& 3\int\frac{1}{(x+1)^3}-\frac{1}{(x+1)^4} \ \mathrm{d}x \qquad\text{使用和差法則}\\ =& 3\left[\int\frac{1}{(x+1)^3}\ \mathrm{d}x – \int\frac{1}{(x+1)^4} \ \mathrm{d}x \right] \qquad\text{令}f(x)=\frac{1}{x^3}\text{，令}g(x)=\frac{1}{x^4}\\ =& 3\left[\int f(x+1)\ \mathrm{d}x – \int g(x+1)\ \mathrm{d}x \right] \\ &\qquad\text{令}h(x)=x+1\text{，則}h'(x)=1\text{，令}i(x)=x+1\text{，則}i'(x)=1\\ =& 3\left[\int f(h(x))h'(x)\ \mathrm{d}x – \int g(i(x))i'(x)\ \mathrm{d}x \right] \\ &\qquad\text{符合換元積分格式，令}u=h(x)=x+1\text{，}v=i(x)=x+1\\ =& 3\left[\int f(u)\ \mathrm{d}u – \int g(v)\ \mathrm{d}v \right] = 3\left[\int \frac{1}{u^3}\ \mathrm{d}u – \int \frac{1}{v^4}\ \mathrm{d}v \right] \\ =&3\left[-\frac{1}{2}\frac{1}{u^2}+ \frac{1}{3} \frac{1}{v^3} \right] = 3\left[\frac{1}{3(x+1)^3}-\frac{1}{2(x+1)^2} \right] \\ =& -\frac{3x+1}{2(x+1)^3} \end{align*}\] (如果對上面的積分法則和換元積分法不熟悉，可參考https://www.shuxuele.com/calculus/integration-by-substitution.html ) \[\begin{align*} E(X) =& \int_{0}^{\infty}\frac{3x}{(x+1)^4}\ \mathrm{d}x\\ =& \left.\left( \int \frac{3x}{(x+1)^4}\ \mathrm{d}x \right) \right|_0^\infty \\ =& \left. -\frac{3x+1}{2(x+1)^3} \right|_0^\infty \\ =& \left(\lim_{x\to \infty}-\frac{3x+1}{2(x+1)^3}\right)+\frac{1}{2} \\ =& \frac{1}{2} \end{align*}\]
所以，X的數學期望為\(\frac{1}{2}\)。
參考資料
.離散型隨機變數的數學期望. 百度文庫. [2019-03-07].