資料結構與演算法之樹形結構

摘要： 二叉樹 二叉樹的節點的節點定義 在堆排序時曾經介紹了什麼是二叉樹，當時是用列表來實現的，但是二叉樹可能出現空值，浪費空間，所以使用類似連結串列的儲存結構。 class BiTreeNode: def __init__(self,data): self.dat...

二叉樹

二叉樹的節點的節點定義

在堆排序時曾經介紹了什麼是二叉樹，當時是用列表來實現的，但是二叉樹可能出現空值，浪費空間，所以使用類似連結串列的儲存結構。

class BiTreeNode:
def __init__(self,data):
self.data=data
self.lchild=None
self.rchild=Node

二叉樹的遍歷

二叉樹的遍歷有兩類四種：

• 深度優先：前序遍歷，中序遍歷，後序遍歷。
• 對於有兩個遍歷求二叉樹的方法：前序找根節點（根在前面），中序找左右子樹，後序找根節點（根在後面）

#前序遍歷，root為根節點
def pre_order(root):
if root:
print(root.data,end = '')
pre_order(root.lchild)
pre_order(root.rchild)

#中序遍歷，如果lchild沒值則出棧
def in_order(root):
if root:
pre_order(root.lchild)
print(root.data,end = '')
pre_order(root.rchild)

#後序遍歷，如果rchild沒值則出棧
def post_order(root):
if root:
pre_order(root.lchild)
pre_order(root.rchild)
print(root.data,end = '')

• 廣度優先：層次遍歷

#根據佇列實現
def level_order(root):
q=deque()
q.append(root)
while(len(q)>0):
x=q.popleft()
print(x.data,end='')
if x.lchild():
q.append(x.lchild)
if x.rchild():
q.append(x.rchild)

二叉搜尋樹

相關知識點

二叉搜尋樹，也叫二叉排序樹，它要求每一個節點左子樹的節點都比它小，右子樹的節點都比他大。

• 二叉搜尋樹的遍歷是升序序列
• 如果y是x左子樹的一個節點，那麼y.key <=x.key;
• 如果y是x右子樹的一個節點，那麼y.key >= x.key;

二叉搜尋樹的插入

class BST:
def __init__(self):
self.root=None#空不是根節點 而是None

def insert(self,key):
if not self.root:
self.root = BiTreeNode(key)
else:
p=self.root
while p:
if key < p.data:#分為左子樹是否為空的情況
if p.lchild:#左子樹有節點就在左子樹繼續查詢，否則就插入左節點的位置
p = p.lchild
else:
p.lchild = BiTreeNode(key)
if key < p.data:#分為左子樹是否為空的情況
elif key > p.data:
if p.rchild:
p = p.rchild
else:
p.lchild = BiTreeNode(key)
break
else:
break

二叉搜尋樹的查詢

def query(self,key):
p = self.root
while p :
if key < p.data:
p = p.lchild
elif key >p.data:
p=p.rchild
else:
return True
return False

二叉搜尋樹的刪除

刪除有三種情況：

• 如果要刪除的節點是葉子節點，那麼找到後直接刪除。
• 如果要刪除的節點有一個子節點點，將 此節點的父節點和子節點相連線，然後刪除此節點。
• 如果刪除的節點有兩個子節點，找到其左子樹最大的節點或者右子樹的最小節點，刪除並替換當前節點，若最後一個一個節點還有一個右子節點，那麼再按照第二種情況處理。

二叉搜尋樹的效率和AVL樹

平均情況下，二叉搜尋時的時間複雜度為O(logn)，但是二叉搜尋樹可能會出現偏斜的情況，需要採用隨機打亂的方法，所以這時候採用AVL樹(自動平衡樹)。

相關知識點：

AVL樹：AVL樹是一棵自平衡的二叉搜尋樹，它具有以下性質：

• 根的左右子樹高度之差的絕對值不能超過1.
  • 計算方法：
  • 每個節點的左右子樹的深度之差，也就是平衡因子。
• 根的左右子樹都是平衡二叉樹。

AVL樹的插入操作

插入一個節點可能會造成AVL樹的不平衡，可以通過旋轉操作來修正。

插入一個節點後，只有從插入節點到根節點的路徑上的節點的平衡可能被改變，需要找到第一個平衡條件的節點，稱之為K，K的兩棵子樹高度差肯定為2.

不平衡的出現有四種情況：

• 不平衡是由於對K的右子節點的右子樹插入導致的：左旋。
• 不平衡是由於對K的左子節點的左子樹插入導致的：右旋。
• 不平衡是由於右子節點的左子樹插入導致的：右旋->左旋。
• 不平衡是由於左子節點的右子樹插入導致的：左旋->右旋。

B樹

B-Tree是一種自平衡的多路搜尋樹，B-Tree儲存在硬盤裡，用於資料庫的索引。