《演算法圖解》筆記(7) 貪心演算法

摘要： 貪婪演算法 貪婪演算法的優點——簡單易行！貪婪演算法很簡單：每步都採取最優的做法。用專業術語說，就是你每步都選擇區域性最優解，最終得到的就是全域性最優解。 集合覆蓋問題 假設你辦了個廣播節目，要讓全美50個州的聽眾都收聽得到。你需要決定在哪些廣播臺播出。力圖在儘可能少的廣播臺播出。...

貪婪演算法

貪婪演算法的優點——簡單易行！貪婪演算法很簡單：每步都採取最優的做法。用專業術語說，就是你每步都選擇區域性最優解，最終得到的就是全域性最優解。

集合覆蓋問題

假設你辦了個廣播節目，要讓全美50個州的聽眾都收聽得到。你需要決定在哪些廣播臺播出。力圖在儘可能少的廣播臺播出。每個廣播臺都覆蓋特定的區域，不同廣播臺的覆蓋區域可能重疊。

如何找出覆蓋全美50個州的最小廣播臺集合呢？具體方法如下：

1. 列出每個可能的廣播臺集合，這被稱為冪集（power set）。可能的子集有2ⁿ 個。
2. 在這些集合中，選出覆蓋全美50個州的最小集合。

貪婪演算法可化解危機！使用下面的貪婪演算法可得到非常接近的解。

1. 選出這樣一個廣播臺，即它覆蓋了最多的未覆蓋州。即便這個廣播臺覆蓋了一些已覆蓋的州，也沒有關係。
2. 重複第一步，直到覆蓋了所有的州。

這是一種近似演算法（approximation algorithm）。在獲得精確解需要的時間太長時，可使用近似演算法。判斷近似演算法優劣的標準如下：

• 速度有多快；
• 得到的近似解與最優解的接近程度。

貪婪演算法是不錯的選擇，它們不僅簡單，而且通常執行速度很快。在這個例子中，貪婪演算法的執行時間為 O ( n² )，其中 n 為廣播臺數量。

示例程式碼：

#傳入一個數組，他被轉換為集合
states_needed = set(["mt","wa","or","id","nv", "ut","ca", "az"])
#可供選擇的廣播臺清單，用散列表
#鍵為廣播臺的名稱，值為廣播臺覆蓋的州
stations = {}
stations["kone"] = set(["id","nv","ut"])
stations["ktwo"] = set(["wa", "id", "mt"])
stations["kthree"] = set(["or", "nv", "ca"])
stations["kfour"] = set(["nv", "ut"])
stations["kfive"] = set(["ca", "az"])
#儲存最終選擇的廣播臺
final_stations = set()

#迴圈，直到states_needed為空
while states_needed:
#選擇覆蓋了最多的未覆蓋州的廣播臺
best_station = None
states_covered = set()
for station,states_for_station in stations.items():
#計算交集
covered = states_needed & states_for_station
if len(covered) > len(states_covered):
best_station = station
states_covered = covered

states_needed -= states_covered
final_stations.add(best_station)

print(final_stations)

NP 完全問題

NP(Non-Deterministic Polynomial, 非確定多項式)問題。

P問題：一個問題可以在多項式（O(n^k)）的時間複雜度內解決。

NP問題 ： 一個問題的解可以在多項式的時間內被驗證。

NP-hard問題 ： 任意np問題都可以在多項式時間內歸約為該問題，但該問題本身不一定是NP問題。歸約的意思是為了解決問題A，先將問題A歸約為另一個問題B，解決問題B同時也間接解決了問題A。

NPC問題：既是NP問題，也是NP-hard問題。

判斷NP完全問題

1.元素較少時演算法的執行速度非常快，但隨著元素數量的增加，速度會變得非常慢。

2.涉及“所有組合”。

3.不能將問題分成小問題，必須考慮各種可能的情況。

4.如果問題涉及序列（如旅行商問題中的城市序列）且難以解決。

5.如果問題涉及集合（如廣播臺集合）且難以解決。

6.如果問題可轉換為集合覆蓋問題或旅行商問題。

小結

• 貪婪演算法尋找區域性最優解，企圖以這種方式獲得全域性最優解。
• 對於NP完全問題，還沒有找到快速解決方案。
• 面臨NP完全問題時，最佳的做法是使用近似演算法。
• 貪婪演算法易於實現、執行速度快，是不錯的近似演算法。

小貼士

集合， 集合類似於列表，只是同樣的元素只能出現一次，即集合不能包含重複的元素 .

>>>arr = [1, 2, 2, 3, 3, 3]

並且你將其轉換為集合。

>>> set(arr)

set([1, 2, 3])

>>> fruits | vegetables     並集

>>>fruits & vegetables     交集

分類 就是編組。

迴歸 就是預測結果（如一個數字）。

對映函式

>>> arr1 = [1, 2, 3, 4, 5]

>>> arr2 = map(lambda x: 2 * x, arr1)

[2, 4, 6, 8, 10]