[bzoj2127]happiness

摘要： 這題學長說可以轉化為最大權閉合子圖，然鵝我當時沒有聽懂。看了題解，大家有的在列方程搞事情，我也不是很懂。有一篇部落格給了一張圖，我拿著圖搞了搞，好像會了一種演算法。（不算是自己想出來的吧，圖已經給了大致思路，只能說細節是自己實現的）。 先來盜一下圖。 這個圖...

• 這題學長說可以轉化為最大權閉合子圖，然鵝我當時沒有聽懂。看了題解，大家有的在列方程搞事情，我也不是很懂。有一篇部落格給了一張圖，我拿著圖搞了搞，好像會了一種演算法。（不算是自己想出來的吧，圖已經給了大致思路，只能說細節是自己實現的）。
• 先來盜一下圖。
• 這個圖好nb，看懂這張圖這題基本就做完了。我們要給每個人選一個科目，讓總的價值最大。這類問題如何用網路流解呢？還是從簡入手，我們先考慮只有兩個人的情況，這就是這張圖的由來。
• 兩個人有四種情況，（ \(x\) 選文， \(y\) 選理）、（ \(x\) 選理， \(y\) 選文）、（兩人都選文）、（兩人都選理）。題目讓求最大值，而我們網路流求最大流最小割，求的都是最小值。因此，我們需要轉化一下。先把所有情況對答案的貢獻累加，然後跑最小割去掉最小代價使方案合法。
• 我們先把 \(x\) 選文、 \(x\) 選理、 \(y\) 選文、 \(y\) 選理、 \(x\) 和 \(y\) 都選文、 \(x\) 和 \(y\) 都選理的代價累加。這時，按照圖中那樣建圖，割掉一條邊代表不使用這個狀態。從 \(S\) 到 \(x\) 連一條邊，代表 \(x\) 選了文，其他同理。向 \(T\) 連邊代表選了理。你發現，這樣建圖的好處在於，你割的方案正好對應了四種情況。
• 這時候，就是合理給邊賦值，跑最小割了。使 \(S\) 到 \(x\) 的邊容量為 \(x\) 選文的價值加上同時選文價值的一半。 \(y\) 同理。使 \(x\) 到 \(T\) 的邊容量為 \(x\) 選理的價值加上同選理的價值的一半， \(y\) 同理。 \(x\) 向 \(y\) 連邊的容量為同選文價值的一半加上同選理價值的一半。這樣，假如你割掉了 \(a\) ， \(d\) ，那麼你必須割掉 \(e\) 。代表你選擇去掉 \(x\) 選文的情況、 \(y\) 選理的情況，答案就是初始 \(sum-maxflow\) 。
• 拓展到多點也是一樣，注意這題卡精度，可以先把權值乘2最後再除掉。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=2e4+10;
const int M=2e5+10;
const int inf=1e9;
map<pair<int,int>,int>w;
int n,m,s,t,tot=1,we[N],li[N],ver[M],Next[M],lin[N],edge[M],d[N],maxflow,flow,sum;
int cal(int i,int j){return (i-1)*m+j;}
void add(int x,int y,int z){
ver[++tot]=y;Next[tot]=lin[x];lin[x]=tot;edge[tot]=z;
ver[++tot]=x;Next[tot]=lin[y];lin[y]=tot;edge[tot]=0;
}
bool bfs(){
memset(d,0,sizeof(d));
queue<int>q;
d[s]=1,q.push(s);
while(q.size()){
int x=q.front();q.pop();
for(int i=lin[x];i;i=Next[i]){
int y=ver[i];
if(!d[y]&&edge[i]){
d[y]=d[x]+1;
q.push(y);
if(y==t) return 1;
}
}
}
return 0;
}
int dinic(int x,int flow){
if(x==t) return flow;
int rest=flow;
for(int i=lin[x];i&&rest;i=Next[i]){
int y=ver[i];
if(d[y]==d[x]+1&&edge[i]){
int k=dinic(y,min(edge[i],rest));
if(!k) d[y]=0;
rest-=k;edge[i]-=k;edge[i^1]+=k;
if(!rest) return flow-rest;
}
}
return flow-rest;
}
int main(){
//freopen("1.in","r",stdin);
//freopen("1.out","w",stdout);
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;++i) for(int j=1;j<=m;++j) scanf("%d",&we[cal(i,j)]),sum+=we[cal(i,j)],we[cal(i,j)]*=2;
for(int i=1;i<=n;++i) for(int j=1;j<=m;++j) scanf("%d",&li[cal(i,j)]),sum+=li[cal(i,j)],li[cal(i,j)]*=2;
for(int i=2;i<=n;++i) for(int j=1;j<=m;++j){
int c;scanf("%d",&c);sum+=c;
c*=2;
we[cal(i,j)]+=c/2;we[cal(i-1,j)]+=c/2;
w[make_pair(cal(i,j),cal(i-1,j))]=c/2;
}
for(int i=2;i<=n;++i) for(int j=1;j<=m;++j){
int c;scanf("%d",&c);sum+=c;
c*=2;
li[cal(i,j)]+=c/2;li[cal(i-1,j)]+=c/2;
c/=2;
c+=w[make_pair(cal(i,j),cal(i-1,j))];
add(cal(i,j),cal(i-1,j),c);add(cal(i-1,j),cal(i,j),c);
}
for(int i=1;i<=n;++i) for(int j=2;j<=m;++j){
int c;scanf("%d",&c);sum+=c;
c*=2;
we[cal(i,j)]+=c/2;we[cal(i,j-1)]+=c/2;
w[make_pair(cal(i,j),cal(i,j-1))]=c/2;
}
for(int i=1;i<=n;++i) for(int j=2;j<=m;++j){
int c;scanf("%d",&c);sum+=c;
c*=2;
li[cal(i,j)]+=c/2;li[cal(i,j-1)]+=c/2;
c/=2;
c+=w[make_pair(cal(i,j),cal(i,j-1))];
add(cal(i,j),cal(i,j-1),c);add(cal(i,j-1),cal(i,j),c);
}
s=0,t=n*m+1;
for(int i=1;i<=n;++i) for(int j=1;j<=m;++j){
add(s,cal(i,j),we[cal(i,j)]);
add(cal(i,j),t,li[cal(i,j)]);
}
while(bfs()){
while(flow=dinic(s,inf)) maxflow+=flow;
}
printf("%d\n",sum-maxflow/2);
return 0;
}