【動態規劃】01揹包問題
今天小編閒的不行，就開啟洛谷，隨便一打卡就是大吉，還宜刷題。
正巧上午比賽時有一道揹包問題，於是小編默默開啟試煉場，瞅準了揹包問題（ 別問我為什麼 ），正所謂自知者明，小編也知道自己很水（建議看 揹包九講 ），於是挑了三道題： 
在寫之前總得知道什麼是揹包問題吧，揹包問題一般長這樣：
題目：有N件物品和一個容量為V的揹包。第i件物品的費用是w[i]，價值是value[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使價值總和最大。
那麼如何解這種題目呢，先定義一個數組f[i][j]為當一共有i件物品，揹包容量為j時的最大價值。然後就要找狀態轉移方程了，小編以前總認為狀態轉移方程難寫，但是隻要一項一項列出來就好了。對於每一個物品，無非就兩種可能:要麼選，要麼不選。那麼先看選，凡是總有回報和代價把，選了之後代價是什麼呢？想一想，是不是選了之後揹包剩餘容量就減少了；那麼回報呢？當然是價值增加了唄。但是不選就不一樣了，應為啥也沒幹，最大價值和之前一樣，不增不減。這不就出來了嘛，兩種情況如下：
- 選：f[i][j]=f[i-1][j-w[i]]+value[i];
- 不選：f[i][j]=f[i-1][j];
因為題目求的是最大價值，所以兩者中取大的就可以了，得到以下狀態轉移方程：
f[i][j]=max(f[i-1][j-w[i]]+value[i],f[i-1][j]);
有沒有發現什麼，我們用了二維陣列，雖然時間上已經難以優化，但是空間上還是可以優化成一維陣列的，只要同時去掉i的那一個維度就可以了，因為二維陣列有太多不需要一直記錄的，直接不斷更新一維陣列（滾動陣列的方式）就可以了，更改如下：
f[j]=max(f[j-w[i]]+value[i],f[j]);
具體怎麼實現，看幾道吧。
先看第一道：
這道題處於秒殺的行列，直接用剛才的方法，把錢數看成是容量，把重要程度*價格看成是價值就好了，直接寫就行，程式碼奉上：
1 #include<iostream>
2 using namespace std;
3 long long cost[30000],w[30000],f[30000],ans;
4 int main()
5 {
6long long n,m;
7cin>>n>>m;
8for(int i=1;i<=m;i++)
9cin>>cost[i]>>w[i];
10for(int i=1;i<=m;i++)
11for(int j=n;j>=cost[i];j--)
12{
13if(j>=w[i])
14f[j]=max(f[j],f[j-cost[i]]+w[i]*cost[i]);
15}
16cout<<f[n];
17return 0;
18 }
先來看一下采藥，比上面的還簡單：
把時間看成容量，就可以了，程式碼獻上：
1 #include<iostream>
2 using namespace std;
3 int t,m,w[1000],cost[1000],f[1000];
4 int main()
5 {
6cin>>t>>m;
7for(int i=1;i<=m;i++)
8cin>>w[i]>>cost[i];
9for(int i=1;i<=m;i++)
10for(int j=t;j>=w[i];j--)
11{
12f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+cost[i]);
13}
14cout<<f[t];
15
16return 0;
17 }
最後來看小A點菜：
這道題乍一看沒思路，還按照剛才的思路：要麼吃，要麼不吃，吃有什麼代價，什麼回報呢？錢變少了，方案數變多了唄；不吃呢？還是原來的方案數。這樣兩種情況就出來了：
f[j-cost[i]]； f[j]
【注意】情況有變，這一次就不那麼簡單了，因為選和不選是兩種不同的方案數，題目求的是一共的方案數，所以不是max，不是min，而是+。
歸根結底長這樣： f[j]=f[j]+f[j-cost[i]];
這樣程式碼就出來了，程式碼呈上：
1 #include<iostream>
2 using namespace std;
3 int n,m,cost[100000],f[10000];
4 int main()
5 {
6cin>>n>>m;
7for(int i=1;i<=n;i++)
8cin>>cost[i];
9f[0]=1;
10for(int i=1;i<=n;i++)
11for(int j=m;j>=cost[i];j--)
12f[j]=f[j]+f[j-cost[i]];
13cout<<f[m];
14return 0;
15 }