概率期望小結
摘要：
從一開始就覺得期望和概率很難，現在也是。應該是因為這個玩意兒比較抽象吧，來幾道簡單例題。
T1
在陸地花費的時間是固定的，那麼它對期望的貢獻當然也是本身啦。
考慮在通過河的時候，最好的情況是船正好向你走來，那麼你花費的時間是 \(\frac{L}{v}\) ，...
從一開始就覺得期望和概率很難，現在也是。應該是因為這個玩意兒比較抽象吧，來幾道簡單例題。
T1
- 在陸地花費的時間是固定的，那麼它對期望的貢獻當然也是本身啦。
- 考慮在通過河的時候，最好的情況是船正好向你走來，那麼你花費的時間是 \(\frac{L}{v}\) ，最壞的呢？此時船剛向對面走去，那麼花費的時間為 \(\frac{3L}{v}\) 。我們求期望，一般有兩種方法：1、直接定義期望，遞推求解。 2、利用期望的線性性， 列舉所有情況求。 本題來說，因為所有情況概率相等，並且沒有確定的值，所以我們考慮列舉所有情況列式子。其實一看就可以看出來，雖然情況是無窮無盡的，但是平均數一定是 \(\frac{2L}{v}\) 。那麼期望自然就是平均值嘍。
T2
- 前言：bzoj找不到這道題了，其實就是luogu上的綠豆蛙的歸宿。
- 看完題目腦子裡出來一個思路，直接從1號點走，每次走到一個點，轉移一下。呵呵，當然是錯誤的啦。為什麼呢？考慮期望的定義，一條邊對答案的貢獻是它被使用的概率*權值。而如果我們正著推，每個邊在最後乘上的概率是不正確的。畫個圖好好想一想。如何解決這個問題？只需要我們倒著遞推就好了。
- 設 \(f[i]\) 表示從i到n的期望長度，那麼 \(f[x]=\frac{\sum f[y]+edge(x,y)}{k}\) 。最終答案就是 \(f[1]\) 。你倒著建圖跑拓撲或者直接記憶化搜尋都可以。
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=1e6+100;
int n,m,tot,ver[N<<1],Next[N<<1],lin[N],edge[N],cd[N];
double f[N];bool v[N];
void add(int x,int y,int z){ver[++tot]=y;Next[tot]=lin[x];lin[x]=tot;edge[tot]=z;cd[x]++;}
void dfs(int x){
if(x==n){
f[x]=0;return ;
}
if(v[x]) return ;
v[x]=1;double temp=0;
for(int i=lin[x];i;i=Next[i]){
int y=ver[i];
//if(v[y]) continue;
dfs(y);
f[x]+=1.0*(edge[i]+f[y])/cd[x];
}
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=m;++i){
int x,y,z;scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
add(x,y,z);
}dfs(1);
printf("%.2lf",f[1]);
return 0;
}
T3
- 這題沒有什麼明確終止狀態，列舉所有情況啥的，不太好算吧。
- 考慮直接定義期望，設 \(f[i]\) 表示到了第i秒，電梯上人的期望數量。那麼 \(f[i]=(f[i-1]+1)*p+f[i-1]*(1-p)\) 。貌似沒什麼問題？呵呵，樣例都沒過去……還有，其實沒必要這樣遞推吧，直接 \(n*p\) 不好了。
- 它錯到哪裡了？當T<=n的時候，這樣求是沒有問題的。問題就在，有可能你電梯上人已經超過n了，你求期望的時候還在求。所以，我們不能這樣求。其實只需要多加一維的狀態就好保證狀態合法了吧？但是你加一維狀態表示人數，肯定期望數量是求不了的啊。那就求概率唄。然後利用期望的定義，求期望。
- \(f[i][j]\) 表示到了第i秒，電梯上有j個人的概率。 \(f[i][j]=f[i-1][j-1]*p+f[i-1][j]*(j==n?1:(1-p))\) 。最後， \(ans+=f[t][j]*j\) 就完事了。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2e3+10;
int n,t;double p,ans,dp[N][N];
int main(){
scanf("%d%lf%d",&n,&p,&t);
dp[0][0]=1;
for(int i=1;i<=t;++i){
for(int j=0;j<=min(i,n);++j){
if(j!=n)
dp[i][j]=dp[i-1][j-1]*p+dp[i-1][j]*(1-p);
else
dp[i][j]=dp[i-1][j-1]*p+dp[i-1][j];
}
}
for(int i=0;i<=min(t,n);++i) ans+=dp[t][i]*i;
printf("%.7lf\n",ans);
return 0;
}
暫時先更新到這裡。
還有其他的，以後總結。