LeetCode | 4. Median of Two Sorted Arrays

LeetCode · 發表 2019-03-31 15:20:44

摘要：題目連結：https://leetcode.com/problems/median-of-two-sorted-arrays/ 題目難度：Hard 題目描述： There are t...

題目連結：https://leetcode.com/problems/median-of-two-sorted-arrays/

題目難度：Hard

題目描述：

There are two sorted arraysnums1 andnums2 of size m and n respectively.

Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).

You may assumenums1 andnums2 cannot be both empty.

Example 1:

nums1 = [1, 3]nums2 = [2]
The median is 2.0

Example 2:

nums1 = [1, 2]nums2 = [3, 4]
The median is (2 + 3)/2 = 2.5

相關主題：Array ,Binary Search ,Divide and Conquer

思路

假設數列的元素數目為，若是奇數，則中位數是第個數；若是偶數，則中位數是第個數和第個數的平均數。一種思路是直接從開頭搜尋兩個陣列，並記錄搜尋的元素數目。但這樣做的時間複雜度為，不滿足題目的要求。

自己想了一個的思路，類似於“尋找第 K 大的數”，只不過尋找的範圍是兩個排序好的陣列。假設兩個陣列為A 和B ，元素數目分別為m 和n ，就可以每次取A[m/2] 和B[n/2] 進行比較，然後每次遞迴縮小搜尋的範圍。這樣做好像有些複雜，沒有考慮清楚該怎麼寫這個遞迴。

參考了一下官方的解決方案，沒看懂。之後我找到了 Frank Dai 的《LeetCode 題解》（題目2.1.5），發現他的思路跟我的有些像。

經過對比，我發現他們的思路和我的思路最大的區別就在於取的索引的不同。在每次迭代時，我的思路是取A 、B 的兩個中間位置進行判斷，即i = A.size()/2 、j = B.size()/2 ，這樣在考慮第 K 大的數究竟落到哪個範圍時就更麻煩。而且我在考慮的時候，還嘗試一次把第 K 大和第 K+1 大兩個元素都找出來，又把問題變複雜了一點。而參考的兩個思路在考慮時，i 和j 都滿足由 K 來約束的關係（例如i + j = K ），這樣在確定第 K 大的數落在哪個範圍時會更簡單一些。結合他們的方法，下面重新整理一下思路。

給定兩個有序陣列A 、B ，元素個數分別為m 和n ，尋找它們的並集中第k 大的數。我們在A 中找到前i = k/2 大的數，在B 中找到前j = k - i 大的數，這樣就可以確保索引位置是跟k 聯絡在一起的。始終保證兩個陣列中B 的元素較多，考慮到A 中元素的數目有可能小於k/2 ，所以取i = min(m, k/2) 。起始的搜尋範圍是A[0...end] 和B[0..end] 。一般會有下面有三種情況：

A[i-1] < B[j-1] ：說明第k 大的數一定不在A[0...i-1] 這個範圍內，將搜尋範圍縮小至A[i...end] 和B[0...end] ，尋找第k-i 大的數；
A[i-1] > B[j-1] ：說明第k 大的數一定不在B[0...j-1] 這個範圍內，將搜尋範圍縮小至A[0...end] 和B[j...end] ，尋找第k-j 大的數；
A[i-1] == B[j-1] ：說明已經找到了第k 大的數，返回A[i-1] 或者B[j-1] 。

考慮遞迴函式的退出條件：

如果m == 0 ，說明陣列A 的搜尋範圍是 0，則返回B[k-1] ；
如果k == 1 ，這時i = k/2 的值為0，無法索引A[i-1] ，返回min(A[0], B[0]) ；
如果A[i-1] == B[j-1] ，返回A[i-1] 或者B[j-1] 。

下面是一個具體的例子：

初始情況：A = {1, 3, 5, 7} ，B = {2, 4, 6, 8, 10} ，m = 4 ,n = 5 , 因為總元素數目為奇數，設定初始k = (m+n)/2 = 5 。取i = k/2 = 2 ，j = k - i = 3 ，這會將陣列A 、B 各分為紅、藍兩個部分：
此時，A[i-1] 的值為 3，B[j-1] 的值為 6，A[i-1] < B[j-1] ，此時第k 大的數一定不在A 的紅色部分中，將這部分從搜尋範圍內剔除掉，並更新k = k - i = 3 ：
更新後A = {5, 7} ，B = {2, 4, 6, 8, 10} ，m = 2 ,n = 5 ,k = 3 。取i = k/2 = 1 ，j = k - i = 2 ，再次將陣列A 、B 各分為紅、藍兩個部分：
此時，A[i-1] 的值為 5，B[j-1] 的值為 4，A[i-1] > B[j-1] ，此時第k 大的數一定不在B 的紅色部分中，將這部分從搜尋範圍內剔除掉，並更新k = k - j = 1 ：
更新後A = {5, 7} ，B = {6, 8, 10} ，m = 1 ，n = 3 ，k = 1 。由於k == 1 ，返回min(A[0], B[0]) = min(5, 6) = 5 ，最終得到中位數為 5。

時間複雜度：空間複雜度：

// C++
int find_the_kth_largest_num(vector<int>::const_iterator A, int m,
vector<int>::const_iterator B, int n, int k)
{
if (m > n) return find_the_kth_largest_num(B, n, A, m, k);
if (m == 0) return *(B + k - 1);
if (k == 1) return min(*A, *B);
int i = min(m, k/2), j = k - i;
if (*(A + i - 1) < *(B + j - 1)) {
return find_the_kth_largest_num(A + i, m - i, B, n, k - i);
} else if (*(A + i - 1) > *(B + j - 1)) {
return find_the_kth_largest_num(A, m, B + j, n - j, k - j);
} else {
return *(A + i - 1);
}
}

class Solution {
public:
double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
int m = nums1.size(), n = nums2.size();
if ((m + n) % 2 != 0) {
return find_the_kth_largest_num(nums1.begin(), m, nums2.begin(), n,
(m + n) / 2 + 1);
} else {
double a = find_the_kth_largest_num(nums1.begin(), m, nums2.begin(), n,
(m + n) / 2);
double b = find_the_kth_largest_num(nums1.begin(), m, nums2.begin(), n,
(m + n) / 2 + 1);
return (a + b) / 2.;
}
}
};

2019年03月31日

LeetCode | 4. Median of Two Sorted Arrays

Example 1:

Example 2:

思路

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