資料結構之堆
定義
堆是一種特別的樹狀結構，我們首先來看看維基百科的上定義。
堆 （英語：Heap）是電腦科學 中的一種特別的樹狀資料結構 。若是滿足以下特性，即可稱為堆：“給定堆中任意節點 P 和 C，若 P 是 C 的母節點，那麼 P 的值會小於等於（或大於等於） C 的值”。若母節點的值恆小於等於 子節點的值，此堆稱為最小堆 （min heap）；反之，若母節點的值恆大於等於 子節點的值，此堆稱為最大堆 （max heap）。在堆中最頂端的那一個節點，稱作根節點 （root node），根節點本身沒有母節點 （parent node）。
總結來說，堆是一個完全二叉樹，最多隻有兩個子節點，並且必須保證根節點是最大的值或者最小的值，所以對於一個堆而言，根節點是最大的值或者是最小的值。
儲存
因為堆是一棵完全二叉樹，所以使用陣列可以高效的儲存資料。對於使用陣列儲存的方式，有兩個性質非常關鍵，對於一個非根節點的節點i
來說，如果它的下標為k
，那麼它的父節點的下標為(k -1)/2
，子節點的下標為2 *k +1
和2 *k + 2
基本操作
- 堆化
- 插入
- 刪除
堆化
對於任意一個無序陣列而言，實現堆化的步驟如下，我們以構建一個最大堆為例：
- 找到第一個非葉子節點，對這個節點的左子樹和右子樹與節點比較，將大的元素放置到父節點的位置，直到父節點已經是最大值或者改節點已經是葉子節點。
- 依次對所有的非葉子節點進行第一步的操作
private Heap(int[] data)
{
int last_p = data.length - 1;
//i是第一個非葉子節點
for (int i = (last_p - 1) / 2; i >= 0; i--)
{
heapify(data, i, last_p);
}
this.data = data;
}
private void heapify(int[] data, int start, int end)
{
int value = data[start];
int current_p = start;
//左孩子
int left_p = 2 * current_p + 1;
while (left_p <= end)
{
//右節點大於左節點
if (left_p < end && data[left_p] < data[left_p + 1])
{
//移動位置到右節點
left_p++;
}
//當前的父節點已經是最大值
if (data[left_p] < value)
{
break;
}
else
{//子節點上移到父節點的位置
data[current_p] = data[left_p];
current_p = left_p;
left_p = current_p * 2 + 1;
}
}
data[current_p] = value;
}
插入
插入的演算法如下：.將新增的節點放在陣列的最末端，也就是陣列的最後一個位置。然後計算出父節點的位置，讓當前節點與父節點比較，如果父節點比較小，交換位置。重複上述步驟，直到父節點大於當前節點或者當前節點是根節點。
public int insert(int value)
{
checkSize();
int position = data.length - 1;
data[position] = value;
int current_p = position;
int parent_p = (position - 1) / 2;
while (current_p > 0)
{
if (data[parent_p] > value)
{
break;
}
else
{
data[current_p] = data[parent_p];
current_p = parent_p;
parent_p = (current_p - 1) / 2;
}
}
data[current_p] = value;
return position;
}
刪除
刪除的演算法如下：將陣列最後一個節點與當前需要刪除的節點替換，刪除最後一個節點，對於替換的節點來說，相當於進行了依次插入操作，不過這次是從上往下的插入。演算法與remove相同，也是比較最大的值進行替換，直到不滿足條件為止。
刪除根節點
public int remove()
{
int root = data[0];
int last = data[data.length - 1];
data[0] = last;
data = Arrays.copyOf(data, data.length - 1);
if (data.length == 0)
{
return root;
}
//從頂點開始調整
int current_p = 0;
int l = current_p * 2 + 1;
int value = data[current_p];
while (l < data.length)
{
if (l < data.length - 1 && data[l] < data[l + 1])
{
l++;//右孩子大
}
if (data[l] <= value)
{
break;
}
else
{
data[current_p] = data[l];
current_p = l;
l = current_p * 2 + 1;
}
}
data[current_p] = value;
return root;
}
應用
堆應用比較多的一個用處就是堆排序，對於一個數組進行堆化之後，第一個陣列是最大的值，然後交換第一個數和最後一個數，這樣最大的數就落在了最後一個數組的位置。縮小陣列，重複之前的步驟，最後就得到了一個排序好的陣列。
int[] data = new int[] {20, 40, 80, 33, 111, 47, 21, 90, -1};
HeapSort hs = new HeapSort();
hs.heap_array(data, data.length - 1);
for (int i = 0; i < data.length - 1; i++)
{
int tmp = data[0];
data[0] = data[data.length - 1 - i];
data[data.length - 1 - i] = tmp;
hs.heap_array(data, data.length - 2 - i);
}
System.out.println(Arrays.toString(data));