複雜度分析-演算法學習的精髓

摘要： 我們知道學習資料結構與演算法主要是解決一個「快」和「省」的問題，如何讓程式碼執行更快、如何更節省空間。那麼如何來考量你的程式碼的執行效率呢，我們總要有一個標準，這就是我今天所講的複雜度分析，不誇張的說，掌握好複雜度分析，資料結構與演算法你就掌握了一半，所有的演算法都逃不出複雜度分析的範疇。...

我們知道學習資料結構與演算法主要是解決一個「快」和「省」的問題，如何讓程式碼執行更快、如何更節省空間。那麼如何來考量你的程式碼的執行效率呢，我們總要有一個標準，這就是我今天所講的複雜度分析，不誇張的說，掌握好複雜度分析，資料結構與演算法你就掌握了一半，所有的演算法都逃不出複雜度分析的範疇。

複雜度分析包括時間複雜度和空間複雜度。

如何考量我們程式碼的執行效率，有的人可能會說我在計算機上跑一下不得了，簡單便捷，沒錯，這樣確實可以。但是這種方法太依賴硬體環境了，你在不同的機器上跑的時間肯定是不一樣的。所以，我們需要一種不依靠測試環境，不需要測試資料的方法來估計演算法的執行效率的方法。 大 O 時間複雜度上場了。

大 O 複雜度表示法

直接上程式碼，我會帶你一起來估算程式碼的執行時間，在實戰中掌握大 O 複雜度。

int sum(int n)
{
int sum = 0;
int i = 1;
for(; i<=n; i++)
{
sum = sum + i; 
}
return sum;
}

上面是一個計算從 1 + 2 + 3 + ··· + n 的求和，我們假設每行程式碼的執行時間都是一個 unit_time。我們可以看到第 3、4 行的程式碼都運行了 1 個 unit_time，第 6、8 行都運行了 n 個 unit_time。所以這段程式碼執行時間為 T(n) = (2n+2) * unit_time。即 T(n) = O(2n+2), 這就是大 O 時間複雜度表示法。 當 n 趨向於無窮大時，記為 T(n) = O(n)。

大 O 時間複雜度表示法實際上並不表示程式碼真正的執行時間，大家也看到了，T(n)才是程式碼真正的執行時間，大 O 時間複雜度是表示程式碼執行時間隨資料規模增長的變化趨勢 。

演算法的時間複雜度採用這種數量級的形式表示後，將給分析演算法的時間複雜度帶來很大的方便。即對一個演算法，只需分析影響該演算法時間複雜度的主要部分即可，而無需對該演算法的每一個語句都進行纖細的分析。

時間複雜度分析

那麼問題來了，給我們一段程式碼，我們怎麼分析它的時間複雜度呢？我有二個實操的方法可以分享給你。

1. 關注執行次數最多的一段程式碼

在上面那個例子中，執行次數最多的是第 6、8 行，所以總的時間複雜度就是 O(n)。

2. 關注量級最大的那段程式碼

看下面程式碼，你可以先試著分析一下，再往下翻。

int sum(int n)
{
int sum_1 = 0;
int x = 1;
for(; p< 10; p++) {
sum_1 += p;
}

int sum_2 = 0;
int q = 1;
for(; q< n; q++) {
sum_2 += q;
}

int sum_3 = 0;
int i = 1;
for(; i<=n; i++) {
int j = 1;
for(; j<=n; j++) {
sum_3 = sum_3 + i *j;
}
}
return sum_1 + sum_2+ sum_3;
}

第一段執行了 10 次，這是一個常量的執行時間，跟 n 的規模無關，就算它執行一百次、一千次，它也是常量級的執行時間。所以為 O(1)。

第二段和第三段程式碼分別為 O(n)、O(n² )，這對你應該不是很難。所以我們只關注量級最大的程式碼的時間複雜度，即 O(n² )。

大 O 表示法有乘法法則和加法法則，非常好理解，乘法法則實際上就是巢狀迴圈 。相信你已經懂了時間複雜度的大 O 分析法了。

下面我介紹一些常見的時間複雜度分析例項。

（敲黑板，劃重點了，拿小本本記下）

1. O(1)

O(1) 常量級時間複雜度

int x = 1; 
int y = 2;
int sum = x + y;

1. O(logn)

i = 1;
while( i <= n)
{
i = i * 2;
}

程式碼的執行次數為 x = log₂ n，即求解方程 2^x = n。

複雜度分析並不難，關鍵在於多練（感覺）。只要跟著我的思路學習、練習，很快，你看到程式碼，簡單的你能一眼看出複雜度，難的你也不會畏懼，分析一下就出來了。

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