LeetCode演算法題-Perfect Number（Java實現）
這是悅樂書的第249 次更新，第262 篇原創
01 看題和準備
今天介紹的是LeetCode演算法題中Easy級別的第116題（順位題號是507）。我們定義Perfect Number是一個正整數，它等於除了它自己之外的所有正除數之和。現在，給定一個整數n，編寫一個函式，當它是一個完美數字時返回true，否則返回false。例如：
輸入：28
輸出：true
說明：28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
注意：輸入數字n不會超過100,000,000。（1E8）
本次解題使用的開發工具是eclipse，jdk使用的版本是1.8，環境是win7 64位系統，使用Java語言編寫和測試。
02 第一種解法
特殊情況：最小Perfect Number為6，奇數不可能是Perfect Number
正常情況：num對從2開始的正整數做取餘操作，等於0，就表示能夠被整除，將能夠被整除的數累加起來，最後判斷與num是否相等。在迴圈中，我們可以將num除以2再判斷，而不必一直遍歷到num，因為超過num/2的數再乘以另外一個數（1除外）肯定會大於num。
此解法的時間複雜度是O(n)，其中n只用判斷n/2次，空間複雜度是O(1)。
public boolean checkPerfectNumber(int num) {
if (num < 6 || num%2 != 0) {
return false;
}
int sum = 1;
for (int i=2; i<=num/2; i++) {
if (num%i == 0) {
sum += i;
}
}
return sum == num;
}
03 第二種解法
我們是不是可以將for迴圈中的迴圈次數再縮小一點？第一種解法是num/2次，而一個正整數它所包含的因子，兩兩相乘，當兩因子無限逼近的時候，就是正整數的平方根，但是使用平方根作為迴圈次數的上限，會把右邊的因子排除掉，所以我們需要提前就加進去，當num能被當前因子整除時，它的商就是右邊的一個因子，所以需要將兩個因子都加上。最後還是判斷因子之和是否與num相等。
此解法的時間複雜度是O(n)，其中n只用判斷根號n次，空間複雜度是O(1)。
public boolean checkPerfectNumber2(int num) {
if (num < 6 || num%2 != 0) {
return false;
}
int sum = 1;
for (int i=2; i<=Math.sqrt(num); i++) {
if (num%i == 0) {
sum += i + num/i;
}
}
return sum == num;
}
04 第三種解法
最小的Perfect Number是6，接著是28，然後是496
6: 2x3 true
28: 4x7 true
120: 8x15 false
496: 16x31 true
2016: 32x63 false
8128: 64x127 true
上面這些數，可以看做2的(n-1)次方與2的n次方再減1的乘積，其中n從2開始，但是並非所有的n都符合，在上面幾個數中，當n等於4和6時是不符合Perfect Number的，這裡直接給出符合的數吧，2,3,5,7,13,17,19,31，至於17,19,31這幾個次方數，做乘法會溢位，可以直接不考慮，至於為什麼是這幾個數，可以一個一個往下推，不難。當然，你要是把int範圍內的5個Perfect Number(第5個是33550336)都找出來了，直接做判斷也行。
public boolean checkPerfectNumber3(int num) {
int[] primes = {2,3,5,7,13};
for (int p: primes) {
if ((1 << (p - 1)) * ((1 << p) - 1) == num) {
return true;
}
}
return false;
}
05 小結
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